확률론 에서, 말리아뱅 미분 (Malliavin微分, 영어 : Malliavin derivative )은 위너 공간 위에 정의된 실수 값 함수에 대하여 정의되는 미분 연산이다.[1] :§6 말리아뱅 미분은 바나흐 공간 의 프레셰 미분 과 달리, 극한이 오직 위너 공간의 부분 힐베르트 공간 의 방향에 대하여 존재하는 것만을 요구한다. 그 에르미트 수반 은 스코로호드 적분 (Скороход積分, 영어 : Skorohod integral )이라고 하며, 이는 이토 적분 의 일반화이다.
다음이 주어졌다고 하자.
위너 공간
(
E
,
H
,
μ
)
{\displaystyle (E,H,\mu )}
연속 함수
f
:
E
→
R
{\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }
원소
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
원소
y
∈
H
{\displaystyle y\in H}
그렇다면, 만약 다음 조건이 성립한다면,
F
{\displaystyle F}
가
x
{\displaystyle x}
에서 말리아뱅 미분 가능 하다고 하며,
F
{\displaystyle F}
의
x
{\displaystyle x}
에서의 말리아뱅 미분 이
y
{\displaystyle y}
라고 한다.[1] :Definition 6.3
힐베르트 내적 위상에서 0으로 수렴하는 임의의 열
(
z
i
)
i
=
0
∞
→
0
{\displaystyle (z_{i})_{i=0}^{\infty }\to 0}
에 대하여 (
z
i
≠
0
∀
i
∈
N
{\displaystyle z_{i}\neq 0\forall i\in \mathbb {N} }
),
lim
i
→
∞
f
(
x
+
z
i
)
−
f
(
x
)
−
⟨
y
,
z
i
⟩
H
⟨
z
i
,
z
i
⟩
→
0
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {f(x+z_{i})-f(x)-\langle y,z_{i}\rangle _{H}}{\sqrt {\langle z_{i},z_{i}\rangle }}}\to 0}
이를
y
=
D
x
f
{\displaystyle y=\mathrm {D} _{x}f}
로 표기한다.
말리아뱅 미분은 다음과 같은 꼴의 비(非)유계 연산자를 이룬다.
D
:
(
dom
D
⊆
L
2
(
W
,
μ
;
R
)
)
→
L
2
(
W
,
μ
;
H
)
{\displaystyle \mathrm {D} \colon (\operatorname {dom} D\subseteq \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} ))\to \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;H)}
D
:
f
↦
(
x
↦
D
x
f
∈
H
)
{\displaystyle \mathrm {D} \colon f\mapsto (x\mapsto \mathrm {D} _{x}f\in H)}
여기서, 말리아뱅 미분의 정의역
dom
D
⊆
L
2
(
W
,
μ
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {dom} \mathrm {D} \subseteq \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} )}
은 힐베르트 공간
L
2
(
W
,
μ
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} )}
의 조밀 집합 인 부분 벡터 공간 이다. 또한, 이는 닫힌 작용소 이다. 즉, 그 그래프
graph
D
=
{
(
f
,
D
f
)
:
f
i
n
dom
D
⊆
L
2
(
W
,
μ
;
R
)
)
⊕
L
2
(
W
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {graph} \mathrm {D} =\{(f,\mathrm {D} f)\colon f\ in\operatorname {dom} \mathrm {D} \subseteq \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} ))\oplus \operatorname {L} ^{2}(W;H)}
는
L
2
(
W
,
μ
;
R
)
)
⊕
L
2
(
W
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} ))\oplus \operatorname {L} ^{2}(W;H)}
속의 닫힌집합 이다.
스코로호드 적분 [ 편집 ]
말리아뱅 미분은 조밀 집합 위에 정의된 닫힌 작용소 이므로, 말리아뱅 미분의 에르미트 수반
δ
:
(
im
D
⊆
L
2
(
W
,
μ
;
H
)
)
→
L
2
(
W
,
μ
;
R
)
{\displaystyle \delta \colon (\operatorname {im} \mathrm {D} \subseteq \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;H))\to \operatorname {L} ^{2}(W,\mu ;\mathbb {R} )}
를 정의할 수 있으며, 이 역시 조밀 집합 위에 정의된 닫힌 작용소 이다. 이를 스코로호드 적분 이라고 한다.
이토 적분 은 스코로호드 적분의 특수한 경우이다.
말리아뱅 적분은 프랑스의 수학자 폴 말리아뱅(프랑스어 : Paul Malliavin , IPA: [pɔl maljavɛ̃] )이 도입하였다. 스코로호드 적분은 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드(우크라이나어 : Анато́лій Володи́мирович Скорохо́д , 러시아어 : Анато́лий Влади́мирович Скорохо́д 아나톨리 블라디미로비치 스코로호트[* ] , 1930〜2011)가 도입하였다.
참고 문헌 [ 편집 ]
↑ 가 나 Eldredge, Nathan (2016). “Analysis and probability on infinite-dimensional spaces”. arXiv :1607.03591 .
외부 링크 [ 편집 ]