디외도네 환

군 스킴 이론에서, 디외도네 환(영어: Dieudonné ring)은 군 스킴의 분류에 사용되는 환이다. 디외도네 환 위의 특정 가군들의 범주는 특정 군 스킴들의 범주의 반대 범주와 동치이다.

정의

표수 $p>0$의 완전체 $K$ 위의 $p$-비트 벡터 환 $\operatorname {WittVector} _{p}(K)$을 생각하자. $K$의 디외도네 환 $\operatorname {Dieu} (K)$은 $\operatorname {WittVector} _{p}(K)$와 두 형식적 변수 $F$, $V$로 생성되며, 다음 관계들을 만족시키는 환이다.

• $FV=VF=p$
• $Fw=\sigma (w)F\qquad \forall w\in \operatorname {WittVector} _{p}(K)$
• $wV=V\sigma (w)\qquad \forall w\in \operatorname {WittVector} _{p}(K)$

여기서

$\sigma \colon \operatorname {WittVector} _{p}(K)\to \operatorname {WittVector} _{p}(K)$

$\sigma \colon (w_{0},w_{1},w_{2},\dots )\mapsto (w_{0}^{p},w_{1}^{p},w_{2}^{p},\dots )$

는 $K$의 프로베니우스 자기 동형에 의하여 생성되는 $p$-비트 벡터 환의 자기 동형이다.

성질

비트 환 위의 작용

표수 $p>0$의 완전체 $K$ 위의 디외도네 군 $\operatorname {Dieu} (K)$는 $p$진 비트 벡터 환 $\operatorname {WittVector} _{p}(K)$ 위에 다음과 같이 작용한다.

• $V\colon (a_{1},a_{p},a_{p^{2}},\dots ,a_{p^{n}})\mapsto (a_{1},a_{p},a_{p^{2}},\dots )$는 비트 벡터 위의 베르시붕(독일어: Verschiebung)이다.
• $F\colon (a_{1},a_{p},a_{p^{2}},\dots )\mapsto (a_{1}^{p},a_{p}^{2},a_{p^{2}},\dots )$는 프로베니우스 사상이다.

디외도네 이론

양의 표수의 완전체 $K$에 대하여, 다음 두 범주 사이에 범주의 동치가 존재한다.

${\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }$

여기서

• ${\mathcal {C}}$는 $K$-군 스킴 $G\to \operatorname {Spec} K$가운데, 스킴 사상으로서 유한 사상이며, 아벨 군 스킴이며, 또 p-군인 것들의 아벨 범주이다.
• ${\mathcal {D}}$는 디외도네 환 위의 왼쪽 가군 가운데, $\operatorname {WittVector} _{p}(K)$-가군으로서 길이가 유한한 것들의 아벨 범주이다.

구체적으로, 군 스킴 $G\in {\mathcal {C}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 디외도네 환 위의 가군 $D(G)$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$D(G)=\varinjlim _{n\to \infty }\hom(G,\mathbb {W} _{p,n}(K))$

여기서 $\mathbb {W} _{p,n}(K)$는 길이 $n$의 $p$-비트 벡터의 군 스킴이며, 위의 귀납적 극한은 포함 사상

$\mathbb {W} _{p,n}(K)\to \mathbb {W} _{p,n+1}(K)$

을 통해 취한 것이다. 이는 디외도네 군의 비트 환 위의 작용에 의하여 왼쪽 디외도네 가군을 이룬다.

이 대응 사상 아래 다음이 성립한다. $G$에 대응하는 디외도네 가군이 $M$이라면,

$|G|=p^{\operatorname {length} _{W}M}$

여기서 좌변은 $G$의 원소의 수이며, 우변은 가군의 길이이다.

외부 링크

• “Dieudonné module”. 《nLab》 (영어). 
• “Dieudonné ring”. 《nLab》 (영어). 
• Ward, Matt (2011년 5월 13일). “The Dieudonné module”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 10월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 7일에 확인함. 
• Ward, Matt (2013년 7월 13일). “A quick user’s guide to Dieudonné modules of p-divisible groups”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 7일에 확인함. 
• Li, Chao. “Basic Dieudonné theory” (영어). 2016년 3월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 7일에 확인함.