드 무아브르의 공식

드 무아브르의 공식은 임의의 복소수를 극형식으로 나타내었을 때 성립하는 다음 등식을 의미한다. 이 식에서 i는 허수 단위를 뜻한다.

$\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos{nx}+i\sin{nx}$

이 공식은 복소수와 삼각 함수간의 관계를 보여준다.

$x$가 실수라는 가정하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면 $\cos{x}, \sin{x}$만을 사용하여 $\cos{nx}$와 $\sin{nx}$을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라, $z^n = 1$의 복소근을 쉽게 구할수 있다.

유도

역사적으로 오일러의 공식보다도 더 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 이를 쉽게 유도할 수 있다.

$e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x$

지수 함수의 성질에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

$\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx}$

그러면, 오일러의 공식에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

$e^{i(nx)} \,=\, \cos{nx} + i\sin{nx}$

수학적 귀납법을 이용한 증명

세 가지 경우로 나누어 생각한다.

$n > 0$인 정수에 대하여, 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. $n = 1$일 때, 이 등식은 참이다. 이제 $k$일 때 다음의 식이 성립한다고 가정하자.

$\left(\cos x + i \sin x\right)^k \,=\, \cos{kx} + i \sin{kx}$

이제 $n = k + 1$일 때 식이 성립하는지를 확인하면,

$\begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \left(\cos{kx} + i\sin{kx}\right) \left(\cos x+i\sin x\right)\\ & = \cos {kx} \cos x - \sin {kx} \sin x + i \left(\cos {kx} \sin x + \sin {kx} \cos x\right)\\ & = \cos { \left(k+1\right) x } + i\sin { \left(k+1\right) x } \end{alignat}$

이 식이 $n = k + 1$일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 $\scriptstyle n\ge 1$인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다.

이제 $n = 0$일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보면, $\scriptstyle \cos {0x} + i\sin {0x} = 1 + i\cdot 0 = 1$ 또는 $z^0 = 1$라는 약속에 의하여 성립한다.

이제 $n < 0$일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보자. 우선 $n = -m$을 만족하는 양의 정수 $m$에 대하여 생각하여 보면,

$\begin{align} \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\ & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\ & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\ & = \cos{mx} - i\sin{mx}\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\ & = \cos{nx} + i\sin{nx} \end{align}$

이 식이 모든 정수에 대하여 성립한다는 사실을 알 수 있다.

코사인과 사인 부분을 각각 증명하는 방법

복소수의 성질에 의하여, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다. 만약 $\scriptstyle \cos x$와 $\scriptstyle \sin x$가 실수라면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

$\begin{alignat}2 \cos{nx}&=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac n 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i}}(-1)^i(\cos{x})^{n-2i}(\sin{x})^{2i}& &=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac n 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i}}(\cos{x})^{n-2i}((\cos{x})^2-1)^i\\ \sin{nx}&=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac {n-1} 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i+1}}(-1)^i(\cos{x})^{n-2i-1}(\sin{x})^{2i+1}& &=(\sin{x})\sum_{i=0}^{\lfloor \frac {n-1} 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i+1}}(\cos{x})^{n-2i-1}((\cos{x})^2-1)^i\\ \end{alignat}$

이 식은 $x$가 복소수일 때에도 양변이 정칙함수이므로, 그 성질에 의하여 성립한다. 위의 식이 실제로 성립하는지 확인해보기 위해 $n = 2, 3$을 대입해보면,

$\begin{alignat}2 \cos{2x} &= (\cos{x})^2 +((\cos{x})^2-1) &&= 2(\cos{x})^2-1\\ \sin{2x} &= 2{\sin{x}}{\cos{x}}\\ \cos{3x} &= (\cos{x})^3 +3\cos{x}((\cos{x})^2-1) &&= 4(\cos{x})^3-3\cos{x}\\ \sin{3x} &= 3(\cos{x})^2{\sin{x}}-(\sin{x})^3 &&= 3\sin{x}-4(\sin{x})^3\\ \end{alignat}$

$\scriptstyle \cos{nx}$에 대한 등식의 우변은, 실제로는 체비쇼프 다항식 $\scriptstyle T_n (\cos x)$의 값이다.

일반화

이 공식은 더 일반적으로 확장할 수 있다. $z$와 $w$가 복소수라면, $\cos (wz) + i \sin (wz)\,$와는 달리

$\left(\cos z + i\sin z\right)^w$

는 여러값 함수(multivalued function)이다. 따라서

$\cos (wz) + i \sin (wz) \,$

는 $\left(\cos z + i\sin z\right)^w\,$의 여러 값중 하나일 뿐이다.

복소평면위에 찍은 $x^3-1 = 0$의 근.

활용

이 공식은 $x^n - 1 = 0$의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 만약 $z$가 복소수라면, 이는 극형식으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,$

이 때 $k$가 정수라면,

$z^{{}^{\frac{1}{n}}}= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ {{}^{\frac{1}{n}}}= r^{{}^{\frac{1}{n}}} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]$

$n$개의 서로 다른 근을 구할 때, $k = 0$ 부터 $n-1$까지의 값을 대입해주면 쉽게 그 값을 구할 수 있다.

함께 보기

• 오일러 공식

참고도서

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (p. 74).