대칭 작용소

작용소 이론에서 대칭 작용소(對稱作用素, 영어: symmetric operator)는 스스로의 정의역 위에서, 스스로가 에르미트 수반과 일치하는 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다. 자기 수반 작용소의 개념과 달리, 그 정의역이 에르미트 수반의 정의역보다 더 작을 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ (실수체 또는 복소수체 가운데 하나)
• $\mathbb {K}$-위상 벡터 공간 $E$
• $E$의 조밀 부분 벡터 공간 $\operatorname {dom} A$
• $\mathbb {K}$-선형 변환 $A\colon \operatorname {dom} A\to E^{*}$

만약 $A$가 다음 조건을 만족시킨다면, $A$를 대칭 작용소라고 한다.

$\langle Ax|y\rangle ={\overline {\langle Ay|x\rangle }}\qquad \forall x,y\in \operatorname {dom} A$

여기서

• $E^{*}$는 $E$의 연속 쌍대 공간이다.
• ${\bar {\color {White}a}}\colon \mathbb {K} \to \mathbb {K}$는 $\mathbb {K} =\mathbb {C}$일 경우 복소켤레이며, $\mathbb {K} =\mathbb {R}$일 경우 항등 함수이다.
• $\langle |\rangle$는 $E$와 $E^{*}$ 사이의 자연스러운 곱 (즉, 연속 범함수의 값매김)이다.

힐베르트 공간의 경우

$H$가 힐베르트 공간이라고 하자. 리스 표현 정리에 따라 $H\cong H^{*}$이다. 이 경우, 대칭 작용소는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

$\mathbb {K}$-힐베르트 공간 $(H,\langle \cdot |\cdot \rangle )$의 조밀 부분 벡터 공간 $\operatorname {dom} A\subseteq H$에 정의된 선형 변환

$A\colon \operatorname {dom} A\to H$

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^:58–59

• $A$는 대칭 작용소이다.
• 모든 $u,v\in \operatorname {dom} A$에 대하여, $\langle u|A|v\rangle =\langle Au|v\rangle$이다.
• $\operatorname {dom} A\subset \operatorname {dom} A^{*}$이며, 모든 $u\in \operatorname {dom} A$에 대하여 $Au=A^{*}u$이다. 여기서 $A^{*}$는 에르미트 수반이다.

힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상 $\operatorname {dom} A\subset \operatorname {dom} A^{*}$이며, 따라서 $\operatorname {dom} A^{*}$ 역시 조밀 집합이다.

대칭 작용소 $A$의 경우, $\operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}$일 필요는 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, 자기 수반 작용소의 개념을 얻는다.

성질

함의 관계

힐베르트 공간 $H$의 조밀 부분 벡터 공간 $D$ 위에 정의된 작용소 $D\to H$들의 종류에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

자기 수반 작용소	⊂	대칭 작용소	⊂	작용소
∪		∪		∪
유계 자기 수반 작용소	=	유계 대칭 작용소	⊂	유계 작용소

여기서 둘째 줄(유계 작용소)의 경우 $D=H$이다. 즉, 헬링거-퇴플리츠 정리(영어: Hellinger–Toeplitz theorem)에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 유계 작용소이다.^:67

유한 차원 힐베르트 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ 위의 작용소 $A$에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

• $A$는 대칭 작용소이다.
• $A$는 자기 수반 작용소이다.
• $A$의 행렬은 에르미트 행렬이다.

결점 지표

복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 대칭 작용소

$A\colon \operatorname {dom} A\to H$

를 생각하자. 즉, 부분 공간

$\operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} A^{*}\subseteq H$

이 존재한다. 이제 다음과 같은 두 부분 공간을 정의하자.

$N_{\pm }=\operatorname {im} (A\pm \mathrm {i} )^{\perp }=\left\{y\in H\colon \forall x\in \operatorname {dom} A\colon \langle y|A|x\rangle =-\mathrm {i} \langle y|x\rangle \right\}$

이들은 직교 여공간이므로 닫힌집합이며, 특히 힐베르트 공간을 이룬다. 그 차원

$\dim N_{\pm }$

을 $A$의 결점 지표(缺點指標, 영어: deficiency index)라고 한다.

폰 노이만 공식(영어: von Neumann formula)에 따르면, 다음이 성립한다.

$N_{\pm }=\ker(A^{*}\mp \mathrm {i} )$

대칭 확장

$\mathbb {K}$-힐베르트 공간 $H$ 위의 대칭 작용소 $A\colon \operatorname {dom} A\to H$의 대칭 확장(對稱擴張, 영어: symmetric extension)은 다음을 만족시키는 작용소 ${\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} {\tilde {A}}\to H$이다. 이 경우 $A\subseteq {\tilde {A}}$라고 표기하자.

• $\operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} {\tilde {A}}$
• $\forall v\in \operatorname {dom} A\colon Av={\tilde {A}}v$

즉, 이는

$\operatorname {graph} A\subseteq \operatorname {graph} {\tilde {A}}\subseteq H\oplus H$

인 조건과 같다.

대칭 확장 관계를 통해, $H$ 위의 대칭 작용소들의 집합은 부분 순서 집합을 이룬다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다.

$\mathbb {K} =\mathbb {C}$라고 추가로 가정하자. 대칭 작용소 $A$의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.^:81–84

$U\colon N_{+}\to N_{-}$

특히, $A$가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 같은 것이다.

$\dim N_{+}=\dim N_{-}$

또한, $A$가 유일한 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 모두 0인 것이다.

$0=\dim N_{+}=\dim N_{-}$

예

다음을 생각하자.

$H=\operatorname {L} ^{2}([0,1];\mathbb {C} )$

$\operatorname {dom} A=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)=0\}\subsetneq H$

$A\colon \operatorname {dom} A\to H$

$A\colon f\mapsto -\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$

그렇다면, $A$는 대칭 작용소이다. 이 경우, $N_{\pm }$은 다음과 같은 미분 방정식의 해의 공간이다.

$\mp {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}$

이는 각각 1차원이며, 구체적으로

$N_{\pm }=\operatorname {Span} \{x\mapsto \exp(\mp x)\}$

이다. 따라서 $A$는 자기 수반 연산자가 아니지만, 자기 수반 확장을 갖는다. 자기 수반 확장의 공간은 $\operatorname {U} (1)$과 동형이다.

구체적으로,

$\operatorname {dom} {\tilde {A}}=\{f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)\}\subsetneq H$

${\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} A\to H$

${\tilde {A}}\colon f\mapsto -\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$

을 생각하자. 이는 $A$의 대칭 확장인데, 이 경우 $N_{+}({\tilde {A}})=N_{-}({\tilde {A}})=0$이므로, 유일한 자기 수반 확장을 갖는다.

참고 문헌

• 곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1. 
• Berezin, F. A.; M. A. Shubin (1991). 《The Schrödinger equation》 (영어). Klüwer. 
• Hall, B. C. (2013). 《Quantum theory for mathematicians》 (영어). New York: Springer. 
• Reed, M.; Simon, Barry (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》 (영어). Academic Press. 
• Bonneau, Guy; Jacques Faraut, Galliano Valent (2001). “Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics”. 《American Journal of Physics》 (영어) 69: 322–331. arXiv:quant-ph/0103153. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. doi:10.1119/1.1328351. 

외부 링크

• “Hermitian operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Symmetric operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semi-bounded operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.