일반위상수학 에서 단조 정규 공간 (영어 : monotonically normal space )은 서로소 닫힌집합 을 분리하는 서로소 열린집합 을 단조함수 를 통해 고를 수 있는 정규 공간 이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간
(
X
,
T
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합 의 순서쌍 들의 집합
A
⊆
P
(
X
)
×
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)}
그렇다면, 단조 정규성 연산자 (영어 : monotone normality operator )
G
:
A
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}_{X}}
는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 이다.
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
에 부분 순서
(
A
,
B
)
≤
(
A
′
,
B
′
)
⟺
A
⊆
A
′
∧
B
⊇
B
′
{\displaystyle (A,B)\leq (A',B')\iff A\subseteq A'\land B\supseteq B'}
를 주었을 때,
G
{\displaystyle G}
는 단조함수 이다.
∀
(
A
,
B
)
∈
A
:
A
⊆
G
(
A
,
B
)
⊆
cl
G
(
A
,
B
)
⊆
X
∖
B
{\displaystyle \forall (A,B)\in {\mathcal {A}}\colon A\subseteq G(A,B)\subseteq \operatorname {cl} G(A,B)\subseteq X\setminus B}
만약 다음 조건을 추가로 만족시키면, 자기 서로소 단조 정규성 연산자 (영어 : self-disjoint monotonical normality operator )라고 한다.
∀
(
A
,
B
)
∈
A
∩
A
−
1
:
G
(
A
,
B
)
∩
G
(
B
,
A
)
=
∅
{\displaystyle \forall (A,B)\in {\mathcal {A}}\cap {\mathcal {A}}^{-1}\colon G(A,B)\cap G(B,A)=\varnothing }
단조 정규성 연산자
G
:
A
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 주어졌을 때, 만약
A
=
A
−
1
{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}^{-1}}
라면,
H
:
A
→
T
X
{\displaystyle H\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}_{X}}
H
(
E
,
F
)
=
G
(
E
,
F
)
∖
cl
G
(
F
,
E
)
{\displaystyle H(E,F)=G(E,F)\setminus \operatorname {cl} G(F,E)}
는 자기 서로소 단조 정규성 연산자를 이룬다.
다음과 같은 집합들을 정의하자.
S
X
=
{
(
A
,
B
)
∈
P
(
X
)
×
P
(
X
)
op
:
A
∩
cl
B
=
cl
A
∩
B
=
∅
}
⊆
P
(
X
)
×
P
(
X
)
op
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{X}=\{(A,B)\in {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }\colon A\cap \operatorname {cl} B=\operatorname {cl} A\cap B=\varnothing \}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }}
D
X
=
{
(
E
,
F
)
:
Clsd
(
X
)
×
Clsd
(
X
)
op
:
E
∩
F
=
∅
}
⊆
P
(
X
)
×
P
(
X
)
op
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}=\{(E,F)\colon \operatorname {Clsd} (X)\times \operatorname {Clsd} (X)^{\operatorname {op} }\colon E\cap F=\varnothing \}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }}
N
X
=
{
(
x
,
F
)
∈
X
×
Clsd
(
X
)
op
:
x
∈
X
∖
F
}
⊆
P
(
X
)
×
P
(
X
)
op
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}=\{(x,F)\in X\times \operatorname {Clsd} (X)^{\operatorname {op} }\colon x\in X\setminus F\}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)^{\operatorname {op} }}
그렇다면, 항상
D
X
⊆
S
X
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}}
이며,
X
{\displaystyle X}
가 T1 공간 이라면
N
X
⊆
D
X
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}\subseteq {\mathcal {D}}_{X}}
이다.
위상 공간
(
X
,
T
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}
가 다음 조건을 만족시키면, 단조 정규 공간 이라고 한다.
단조 정규성 연산자
D
X
→
T
X
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 존재한다.
T1 공간
(
X
,
T
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이다.[1] :Lemma 2.2
단조 정규성 연산자
S
X
→
T
X
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 존재한다.
단조 정규성 연산자
D
X
→
T
X
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 존재한다.
자기 서로소 단조 정규성 연산자
N
X
→
T
X
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 존재한다.
X
{\displaystyle X}
가 T1 공간 이므로,
N
X
⊆
D
X
⊆
S
X
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}\subseteq {\mathcal {D}}_{X}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}}
이다. 따라서, 만약
G
:
S
X
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 단조 정규성 연산자라면,
G
↾
D
X
:
D
X
→
T
X
{\displaystyle G\upharpoonright {\mathcal {D}}_{X}\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
역시 단조 정규성 연산자이다. 만약
G
:
D
X
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 자기 서로소 단조 정규성 연산자라면,
G
↾
N
X
:
N
X
→
T
X
{\displaystyle G\upharpoonright {\mathcal {N}}_{X}\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
역시 자기 서로소 단조 정규성 연산자이다. 즉, 첫 번째 조건은 두 번재 조건을 함의하며, 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의한다. 이제, 자기 서로소 단조 정규성 연산자
G
:
N
X
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자.
H
:
S
X
→
T
X
{\displaystyle H\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
H
(
A
,
B
)
=
⋃
a
∈
A
G
(
a
,
cl
B
)
{\displaystyle H(A,B)=\bigcup _{a\in A}G(a,\operatorname {cl} B)}
만약
(
A
,
B
)
,
(
A
′
,
B
′
)
∈
S
X
{\displaystyle (A,B),(A',B')\in {\mathcal {S}}_{X}}
A
⊆
A
′
{\displaystyle A\subseteq A'}
B
⊇
B
′
{\displaystyle B\supseteq B'}
라면, 자명하게
H
(
A
,
B
)
⊆
H
(
A
′
,
B
′
)
{\displaystyle H(A,B)\subseteq H(A',B')}
이다. 또한, 임의의
(
A
,
B
)
∈
S
X
{\displaystyle (A,B)\in {\mathcal {S}}_{X}}
에 대하여,
A
=
⋃
a
∈
A
{
a
}
⊆
⋃
a
∈
A
G
(
a
,
cl
B
)
=
H
(
A
,
B
)
{\displaystyle A=\bigcup _{a\in A}\{a\}\subseteq \bigcup _{a\in A}G(a,\operatorname {cl} B)=H(A,B)}
B
=
⋃
b
∈
B
{
b
}
⊆
⋃
b
∈
B
G
(
b
,
cl
A
)
=
int
⋃
b
∈
B
G
(
b
,
cl
A
)
⊆
int
(
X
∖
H
(
A
,
B
)
)
=
X
∖
cl
H
(
A
,
B
)
{\displaystyle B=\bigcup _{b\in B}\{b\}\subseteq \bigcup _{b\in B}G(b,\operatorname {cl} A)=\operatorname {int} \bigcup _{b\in B}G(b,\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {int} (X\setminus H(A,B))=X\setminus \operatorname {cl} H(A,B)}
H
(
A
,
B
)
∩
H
(
B
,
A
)
=
⋃
a
∈
A
⋃
b
∈
B
(
G
(
a
,
cl
B
)
∩
G
(
b
,
cl
A
)
)
⊆
⋃
a
∈
A
⋃
b
∈
B
(
G
(
a
,
b
)
∩
G
(
b
,
a
)
)
=
⋃
a
∈
A
⋃
b
∈
B
∅
=
∅
{\displaystyle H(A,B)\cap H(B,A)=\bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}(G(a,\operatorname {cl} B)\cap G(b,\operatorname {cl} A))\subseteq \bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}(G(a,b)\cap G(b,a))=\bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}\varnothing =\varnothing }
이다. 따라서,
H
{\displaystyle H}
는 단조 정규성 연산자이다.
함의 관계 [ 편집 ]
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
증명 (거리화 가능 공간 → 단조 정규 하우스도르프 공간):
모든 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자.
G
:
D
X
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
G
(
E
,
F
)
=
{
x
∈
X
:
d
(
x
,
E
)
d
(
x
,
E
)
+
d
(
x
,
F
)
∈
[
0
,
1
/
2
)
}
{\displaystyle G(E,F)=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\in [0,1/2)\right\}}
그렇다면,
x
↦
d
(
x
,
E
)
d
(
x
,
E
)
+
d
(
x
,
F
)
{\displaystyle x\mapsto {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}}
가 연속 함수
X
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle X\to [0,1]}
이므로,
G
(
E
,
F
)
⊆
X
{\displaystyle G(E,F)\subseteq X}
는 열린집합 이다. 만약
(
E
,
F
)
,
(
E
′
,
F
′
)
∈
D
X
{\displaystyle (E,F),(E',F')\in {\mathcal {D}}_{X}}
E
⊆
E
′
{\displaystyle E\subseteq E'}
F
⊇
F
′
{\displaystyle F\supseteq F'}
라면,
∀
x
∈
X
:
d
(
x
,
E
)
d
(
x
,
E
)
+
d
(
x
,
F
)
≥
d
(
x
,
E
′
)
d
(
x
,
E
′
)
+
d
(
x
,
F
′
)
{\displaystyle \forall x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\geq {\frac {d(x,E')}{d(x,E')+d(x,F')}}}
이므로,
G
(
E
,
F
)
⊆
G
(
E
′
,
F
′
)
{\displaystyle G(E,F)\subseteq G(E',F')}
이다. 또한,
E
=
{
x
∈
X
:
d
(
x
,
E
)
d
(
x
,
E
)
+
d
(
x
,
F
)
=
0
}
⊆
G
(
E
,
F
)
{\displaystyle E=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}=0\right\}\subseteq G(E,F)}
F
=
{
x
∈
X
:
d
(
x
,
E
)
d
(
x
,
E
)
+
d
(
x
,
F
)
=
1
}
⊆
{
x
∈
X
:
d
(
x
,
E
)
d
(
x
,
E
)
+
d
(
x
,
F
)
∈
(
1
/
2
,
1
]
}
⊆
X
∖
cl
G
(
E
,
F
)
{\displaystyle F=\left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}=1\right\}\subseteq \left\{x\in X\colon {\frac {d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}}\in (1/2,1]\right\}\subseteq X\setminus \operatorname {cl} G(E,F)}
이다. 즉,
G
:
D
X
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
는 단조 정규성 연산자이다.
증명 (단조 정규 하우스도르프 공간 → 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간):
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합 은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
및 자기 서로소 단조 정규성 연산자
G
:
D
X
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
및 닫힌집합 들의 이산 집합족
F
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
∀
x
∈
X
∃
U
∈
T
X
:
x
∈
U
∧
|
{
F
∈
F
:
U
∩
F
≠
∅
}
|
<
ℵ
0
{\displaystyle \forall x\in X\exists U\in {\mathcal {T}}_{X}\colon x\in U\land |\{F\in {\mathcal {F}}\colon U\cap F\neq \varnothing \}|<\aleph _{0}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합 들의 서로소 집합족
{
U
(
F
)
}
F
∈
F
⊆
T
X
{\displaystyle \{U(F)\}_{F\in {\mathcal {F}}}\subseteq {\mathcal {T}}_{X}}
∀
E
∈
F
∀
F
∈
F
∖
{
E
}
:
U
(
E
)
∩
U
(
F
)
=
∅
{\displaystyle \forall E\in {\mathcal {F}}\forall F\in {\mathcal {F}}\setminus \{E\}\colon U(E)\cap U(F)=\varnothing }
∀
F
∈
F
:
F
⊆
U
(
F
)
{\displaystyle \forall F\in {\mathcal {F}}\colon F\subseteq {\mathcal {U}}(F)}
을 찾으면 충분하다. 모든 이산 집합족 은 국소 유한 집합족 이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, 닫힌집합 들의 이산 집합족의 합집합은 닫힌집합 이다. 이제, 임의의
F
∈
F
{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}
에 대하여,
U
(
F
)
=
G
(
F
,
⋃
F
∖
{
F
}
)
⊆
X
{\displaystyle U(F)=G\left(F,\bigcup {\mathcal {F}}\setminus \{F\}\right)\subseteq X}
라고 하자.
G
{\displaystyle G}
의 정의에 따라,
U
(
F
)
{\displaystyle U(F)}
는 열린집합 이며,
F
⊆
U
(
F
)
{\displaystyle F\subseteq U(F)}
이다. 만약
E
,
F
∈
F
{\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}
이며
E
≠
F
{\displaystyle E\neq F}
라면,
U
(
E
)
∩
U
(
F
)
⊆
G
(
E
,
F
)
∩
G
(
F
,
E
)
=
∅
{\displaystyle U(E)\cap U(F)\subseteq G(E,F)\cap G(F,E)=\varnothing }
이다. 즉,
{
U
(
F
)
}
F
∈
F
{\displaystyle \{U(F)\}_{F\in {\mathcal {F}}}}
는 서로소 집합족 이다.
순서 위상 을 갖춘 전순서 집합 은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.[1] :Theorem 5.3
임의의 전순서 집합
(
X
,
≤
)
{\displaystyle (X,\leq )}
위에 순서 위상 을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다.
(T1 ) 모든 한원소 집합 은 닫힌집합 이다.
(단조 정규성) 자기 서로소 단조 정규성 연산자
G
:
N
X
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 존재한다.
T1 . 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
{
x
}
=
[
x
,
x
]
=
X
∖
(
(
−
∞
,
x
)
∪
(
x
,
∞
)
)
{\displaystyle \{x\}=[x,x]=X\setminus \left((-\infty ,x)\cup (x,\infty )\right)}
이므로 한원소 집합
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
는 닫힌집합 이다.
단조 정규성. 선택 공리 와 동치 인 정렬 정리 에 따라,
X
{\displaystyle X}
위에 임의의 정렬 전순서
W
{\displaystyle W}
를 주자. 임의의 닫힌집합
F
⊆
X
{\displaystyle F\subseteq X}
및 점
x
∈
X
∖
F
{\displaystyle x\in X\setminus F}
에 대하여, 다음과 같이 정의하자.
C
(
x
,
F
)
{\displaystyle C(x,F)}
는
x
{\displaystyle x}
를 포함하는
X
∖
F
{\displaystyle X\setminus F}
의 순서 볼록 성분 이다.
만약
C
(
x
,
F
)
∩
(
−
∞
,
x
)
≠
∅
{\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing }
이라면,
a
(
x
,
F
)
=
min
(
X
,
W
)
(
C
(
x
,
F
)
∩
(
−
∞
,
x
)
)
{\displaystyle a(x,F)=\min \nolimits _{(X,W)}(C(x,F)\cap (-\infty ,x))}
만약
C
(
x
,
F
)
∩
(
x
,
∞
)
≠
∅
{\displaystyle C(x,F)\cap (x,\infty )\neq \varnothing }
이라면,
b
(
x
,
F
)
=
min
(
X
,
W
)
(
C
(
x
,
F
)
∩
(
x
,
∞
)
)
{\displaystyle b(x,F)=\min \nolimits _{(X,W)}(C(x,F)\cap (x,\infty ))}
이제,
G
(
x
,
F
)
=
{
(
a
(
x
,
F
)
,
b
(
x
,
F
)
)
C
(
x
,
F
)
∩
(
−
∞
,
x
)
≠
∅
≠
C
(
x
,
F
)
∩
(
x
,
∞
)
(
a
(
x
,
F
)
,
x
]
C
(
x
,
F
)
∩
(
−
∞
,
x
)
≠
∅
=
C
(
x
,
F
)
∩
(
x
,
∞
)
[
x
,
b
(
x
,
F
)
)
C
(
x
,
F
)
∩
(
−
∞
,
x
)
=
∅
≠
C
(
x
,
F
)
∩
(
x
,
∞
)
{
x
}
C
(
x
,
F
)
∩
(
−
∞
,
x
)
=
∅
=
C
(
x
,
F
)
∩
(
x
,
∞
)
{\displaystyle G(x,F)={\begin{cases}(a(x,F),b(x,F))&C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing \neq C(x,F)\cap (x,\infty )\\(a(x,F),x]&C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )\\{}[x,b(x,F))&C(x,F)\cap (-\infty ,x)=\varnothing \neq C(x,F)\cap (x,\infty )\\\{x\}&C(x,F)\cap (-\infty ,x)=\varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )\end{cases}}}
라고 하자.
G
:
N
X
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다.
G
(
x
,
F
)
{\displaystyle G(x,F)}
는 열린집합 이다.
C
(
x
,
F
)
∩
(
−
∞
,
x
)
≠
∅
=
C
(
x
,
F
)
∩
(
x
,
∞
)
{\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )}
인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.)
x
∈
X
∖
F
{\displaystyle x\in X\setminus F}
이며
X
∖
F
{\displaystyle X\setminus F}
가 열린집합 이므로,
x
∈
(
a
,
b
)
⊆
X
∖
F
{\displaystyle x\in (a,b)\subseteq X\setminus F}
인
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
가 존재한다.
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
는
x
{\displaystyle x}
를 포함하는 순서 볼록 집합 이므로,
(
a
,
b
)
⊆
C
(
x
,
F
)
{\displaystyle (a,b)\subseteq C(x,F)}
이다.
C
(
x
,
F
)
∩
(
x
,
∞
)
=
∅
{\displaystyle C(x,F)\cap (x,\infty )=\varnothing }
이므로,
(
x
,
b
)
=
∅
{\displaystyle (x,b)=\varnothing }
이다. 따라서,
(
a
(
x
,
F
)
,
b
)
=
(
a
(
x
,
F
)
,
x
]
=
G
(
x
,
F
)
{\displaystyle (a(x,F),b)=(a(x,F),x]=G(x,F)}
이다.
x
∈
G
(
x
,
F
)
{\displaystyle x\in G(x,F)}
cl
G
(
x
,
F
)
⊆
X
∖
F
{\displaystyle \operatorname {cl} G(x,F)\subseteq X\setminus F}
C
(
x
,
F
)
∩
(
−
∞
,
x
)
≠
∅
=
C
(
x
,
F
)
∩
(
x
,
∞
)
{\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )}
인 경우를 생각하자. 이 경우,
cl
G
(
x
,
F
)
=
cl
(
a
(
x
,
F
)
,
x
]
⊆
[
a
(
x
,
F
)
,
x
]
⊆
C
(
x
,
F
)
⊆
X
∖
F
{\displaystyle \operatorname {cl} G(x,F)=\operatorname {cl} (a(x,F),x]\subseteq [a(x,F),x]\subseteq C(x,F)\subseteq X\setminus F}
이다.
만약
E
,
F
⊆
X
{\displaystyle E,F\subseteq X}
가 닫힌집합 이며,
x
∈
X
∖
F
⊆
X
∖
E
{\displaystyle x\in X\setminus F\subseteq X\setminus E}
라면,
G
(
x
,
E
)
⊆
G
(
x
,
F
)
{\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)}
C
(
x
,
E
)
∩
(
−
∞
,
x
)
≠
∅
=
C
(
x
,
E
)
∩
(
x
,
∞
)
{\displaystyle C(x,E)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,E)\cap (x,\infty )}
이며
C
(
x
,
F
)
∩
(
−
∞
,
x
)
≠
∅
=
C
(
x
,
F
)
∩
(
x
,
∞
)
{\displaystyle C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )}
인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우,
G
(
x
,
E
)
=
(
a
(
x
,
E
)
,
x
]
{\displaystyle G(x,E)=(a(x,E),x]}
,
G
(
x
,
F
)
=
(
a
(
x
,
F
)
,
x
]
{\displaystyle G(x,F)=(a(x,F),x]}
이다. 만약
a
(
x
,
E
)
=
a
(
x
,
F
)
{\displaystyle a(x,E)=a(x,F)}
라면,
G
(
x
,
E
)
=
G
(
x
,
F
)
{\displaystyle G(x,E)=G(x,F)}
이며, 특히
G
(
x
,
E
)
⊆
G
(
x
,
F
)
{\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)}
이다. 이제,
a
(
x
,
E
)
≠
a
(
x
,
F
)
{\displaystyle a(x,E)\neq a(x,F)}
라고 가정하자.
X
∖
F
⊆
X
∖
E
{\displaystyle X\setminus F\subseteq X\setminus E}
이므로,
C
(
x
,
F
)
⊆
C
(
x
,
E
)
{\displaystyle C(x,F)\subseteq C(x,E)}
이다. 따라서,
a
(
x
,
E
)
≤
W
a
(
x
,
F
)
{\displaystyle a(x,E)\leq _{W}a(x,F)}
이며,
a
(
x
,
E
)
≠
a
(
x
,
F
)
{\displaystyle a(x,E)\neq a(x,F)}
이므로
a
(
x
,
E
)
<
W
a
(
x
,
F
)
{\displaystyle a(x,E)<_{W}a(x,F)}
이다.
a
(
x
,
F
)
{\displaystyle a(x,F)}
의 정의에 따라,
a
(
x
,
E
)
{\displaystyle a(x,E)}
는
C
(
x
,
F
)
{\displaystyle C(x,F)}
의 원소일 수 없다. 따라서,
a
(
x
,
E
)
<
a
(
x
,
F
)
{\displaystyle a(x,E)<a(x,F)}
이며,
G
(
x
,
E
)
⊆
G
(
x
,
F
)
{\displaystyle G(x,E)\subseteq G(x,F)}
이다.
임의의 서로 다른
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
에 대하여,
G
(
x
,
y
)
∩
G
(
y
,
x
)
=
∅
{\displaystyle G(x,y)\cap G(y,x)=\varnothing }
C
(
x
,
y
)
∩
(
−
∞
,
x
)
=
∅
≠
C
(
x
,
y
)
∩
(
x
,
∞
)
{\displaystyle C(x,y)\cap (-\infty ,x)=\varnothing \neq C(x,y)\cap (x,\infty )}
이며
C
(
y
,
x
)
∩
(
−
∞
,
y
)
≠
∅
=
C
(
y
,
x
)
∩
(
y
,
∞
)
{\displaystyle C(y,x)\cap (-\infty ,y)\neq \varnothing =C(y,x)\cap (y,\infty )}
인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우,
G
(
x
,
y
)
=
[
x
,
b
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle G(x,y)=[x,b(x,y))}
,
G
(
y
,
x
)
=
(
a
(
y
,
x
)
,
y
]
{\displaystyle G(y,x)=(a(y,x),y]}
이다. 귀류법 을 사용하여,
G
(
x
,
y
)
∩
G
(
y
,
x
)
≠
∅
{\displaystyle G(x,y)\cap G(y,x)\neq \varnothing }
이라고 가정하자.
[
x
,
b
(
x
,
y
)
]
⊆
C
(
x
,
y
)
⊆
X
∖
{
y
}
{\displaystyle [x,b(x,y)]\subseteq C(x,y)\subseteq X\setminus \{y\}}
,
[
a
(
y
,
x
)
,
y
]
⊆
C
(
y
,
x
)
⊆
X
∖
{
x
}
{\displaystyle [a(y,x),y]\subseteq C(y,x)\subseteq X\setminus \{x\}}
이므로,
x
<
a
(
y
,
x
)
<
b
(
x
,
y
)
<
y
{\displaystyle x<a(y,x)<b(x,y)<y}
일 수밖에 없다. 따라서
a
(
y
,
x
)
=
min
(
X
,
W
)
(
x
,
y
)
=
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle a(y,x)=\min \nolimits _{(X,W)}(x,y)=b(x,y)}
이며, 이는 모순이다.
연산에 대한 닫힘 [ 편집 ]
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합 은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 반대로, 위상 공간
X
{\displaystyle X}
가 단조 정규 하우스도르프 닫힌집합 들로 구성된 국소 유한 덮개 를 갖는다면, 단조 정규 하우스도르프 공간이다.
단조 정규 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
및 단조 정규성 연산자
G
:
S
X
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {\mathcal {T}}}_{X}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
에 대하여,
S
Y
⊆
S
X
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{Y}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}}
이며,
H
:
S
Y
→
T
Y
{\displaystyle H\colon {\mathcal {S}}_{Y}\to {\mathcal {T}}_{Y}}
H
(
A
,
B
)
=
G
(
A
,
B
)
∩
Y
{\displaystyle H(A,B)=G(A,B)\cap Y}
는 단조 정규성 연산자이다.
단조 정규 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
및 닫힌 연속 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
에 대하여, 그 상
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.[1] :Theorem 2.6
편의상
f
(
X
)
=
Y
{\displaystyle f(X)=Y}
라고 하자. 단조 정규성 연산자
G
:
D
X
→
T
X
{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 정의하자.
H
:
D
Y
→
T
Y
{\displaystyle H\colon {\mathcal {D}}_{Y}\to {\mathcal {T}}_{Y}}
H
(
E
,
F
)
=
Y
∖
f
(
X
∖
G
(
f
−
1
(
E
)
,
f
−
1
(
F
)
)
)
{\displaystyle H(E,F)=Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))}
이는 자명하게 단조함수 이다.
f
−
1
(
H
)
⊆
G
(
f
−
1
(
H
)
,
f
−
1
(
K
)
)
{\displaystyle f^{-1}(H)\subseteq G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))}
f
−
1
(
K
)
⊆
X
∖
cl
G
(
f
−
1
(
H
)
,
f
−
1
(
K
)
)
{\displaystyle f^{-1}(K)\subseteq X\setminus \operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))}
이므로,
H
⊆
Y
∖
f
(
X
∖
G
(
f
−
1
(
E
)
,
f
−
1
(
F
)
)
)
=
H
(
E
,
F
)
{\displaystyle H\subseteq Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))=H(E,F)}
K
⊆
Y
∖
f
(
cl
G
(
f
−
1
(
H
)
,
f
−
1
(
K
)
)
)
=
int
(
Y
∖
f
(
cl
G
(
f
−
1
(
H
)
,
f
−
1
(
K
)
)
)
)
=
int
f
(
X
∖
G
(
f
−
1
(
H
)
,
f
−
1
(
K
)
)
)
=
int
(
X
∖
H
(
E
,
F
)
)
=
X
∖
cl
H
(
E
,
F
)
{\displaystyle {\begin{aligned}K&\subseteq Y\setminus f(\operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\&=\operatorname {int} (Y\setminus f(\operatorname {cl} G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))))\\&=\operatorname {int} f(X\setminus G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\&=\operatorname {int} (X\setminus H(E,F))\\&=X\setminus \operatorname {cl} H(E,F)\end{aligned}}}
이다. 따라서,
H
{\displaystyle H}
는 단조 정규성 연산자이다.
단조 정규 하우스도르프 공간
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
및 닫힌집합
Z
⊆
X
{\displaystyle Z\subseteq X}
및 연속 함수
f
:
Z
→
Y
{\displaystyle f\colon Z\to Y}
에 대하여, 붙임 공간
X
∪
f
Y
{\displaystyle X\cup _{f}Y}
는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.[2] :Theorem 1.1
다음 두 조건을 보이는 것으로 충분하다.
X
∪
f
Y
{\displaystyle X\cup _{f}Y}
는 T1 공간 이다. 즉, 모든 한원소집합 은 닫힌집합 이다.
X
∪
f
Y
{\displaystyle X\cup _{f}Y}
는 단조 정규 공간이다. 즉, 단조 정규성 연산자
G
:
D
X
∪
f
Y
→
T
X
∪
f
Y
{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X\cup _{f}Y}\to {\mathcal {T}}_{X\cup _{f}Y}}
가 존재한다.
T1 . 표준적인 연속 함수
g
:
X
→
X
∪
f
Y
{\displaystyle g\colon X\to X\cup _{f}Y}
h
:
Y
→
X
∪
f
Y
{\displaystyle h\colon Y\to X\cup _{f}Y}
를 생각하자. 그렇다면, 부분 집합
U
⊆
X
∪
f
Y
{\displaystyle U\subseteq X\cup _{f}Y}
이 열린집합 일 필요충분조건 은
g
−
1
(
U
)
⊆
X
{\displaystyle g^{-1}(U)\subseteq X}
와
h
−
1
(
U
)
⊆
Y
{\displaystyle h^{-1}(U)\subseteq Y}
가 둘 다 열린집합 인 것이다. 마찬가지로, 닫힌집합 일 필요충분조건 은
g
−
1
(
U
)
⊆
X
{\displaystyle g^{-1}(U)\subseteq X}
와
h
−
1
(
U
)
⊆
Y
{\displaystyle h^{-1}(U)\subseteq Y}
가 둘 다 닫힌집합 인 것이다. 또한,
g
↾
X
∖
Z
{\displaystyle g\upharpoonright X\setminus Z}
는 열린 위상수학적 매장 이며,
h
{\displaystyle h}
는 닫힌 위상수학적 매장 이며,
g
(
X
∖
Z
)
∪
h
(
Y
)
=
X
∪
f
Y
{\displaystyle g(X\setminus Z)\cup h(Y)=X\cup _{f}Y}
g
(
X
∖
Z
)
∩
h
(
Y
)
=
∅
{\displaystyle g(X\setminus Z)\cap h(Y)=\varnothing }
이다. (그러나
X
∪
f
Y
{\displaystyle X\cup _{f}Y}
는 두 상 의 분리합공간 일 필요가 없다.) 이제, 임의의
x
∈
X
∖
Z
{\displaystyle x\in X\setminus Z}
및
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
에 대하여,
g
−
1
(
g
(
x
)
)
=
{
x
}
⊆
X
{\displaystyle g^{-1}(g(x))=\{x\}\subseteq X}
h
−
1
(
g
(
x
)
)
=
∅
⊆
Y
{\displaystyle h^{-1}(g(x))=\varnothing \subseteq Y}
g
−
1
(
h
(
y
)
)
=
f
−
1
(
y
)
⊆
Z
⊆
X
{\displaystyle g^{-1}(h(y))=f^{-1}(y)\subseteq Z\subseteq X}
h
−
1
(
h
(
y
)
)
=
{
y
}
⊆
Y
{\displaystyle h^{-1}(h(y))=\{y\}\subseteq Y}
이다. 따라서,
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
와
h
(
y
)
{\displaystyle h(y)}
는 닫힌집합 이며,
X
∪
f
Y
{\displaystyle X\cup _{f}Y}
는 T1 공간 이다.
단조 정규성. 단조 정규성 연산자
G
1
:
S
X
→
T
X
{\displaystyle G_{1}\colon {\mathcal {S}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}}
G
2
:
S
Y
→
S
Y
{\displaystyle G_{2}\colon {\mathcal {S}}_{Y}\to {\mathcal {S}}_{Y}}
가 주어졌다고 하자. 임의의 서로소 닫힌집합
E
,
F
⊆
X
∪
f
Y
{\displaystyle E,F\subseteq X\cup _{f}Y}
에 대하여,
(
g
−
1
(
E
)
,
g
−
1
(
F
)
)
∈
D
X
⊆
S
X
{\displaystyle (g^{-1}(E),g^{-1}(F))\in {\mathcal {D}}_{X}\subseteq {\mathcal {S}}_{X}}
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
∈
D
Y
⊆
S
Y
{\displaystyle (h^{-1}(E),h^{-1}(F))\in {\mathcal {D}}_{Y}\subseteq {\mathcal {S}}_{Y}}
이다. 이제,
A
(
E
,
F
)
=
g
−
1
(
E
)
∪
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
⊆
X
{\displaystyle A(E,F)=g^{-1}(E)\cup f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X}
B
(
E
,
F
)
=
g
−
1
(
F
)
∪
Z
∖
f
−
1
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
⊆
X
{\displaystyle B(E,F)=g^{-1}(F)\cup Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X}
라고 하자. 그렇다면,
(
A
,
B
)
∈
S
X
{\displaystyle (A,B)\in {\mathcal {S}}_{X}}
이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.
cl
X
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
⊆
f
−
1
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
=
Z
∖
(
Z
∖
f
−
1
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))&\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=Z\setminus (Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\end{aligned}}}
cl
X
(
Z
∖
f
−
1
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
=
cl
X
(
Z
∖
f
−
1
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
∩
Z
=
cl
Z
(
Z
∖
f
−
1
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
=
Z
∖
int
Z
f
−
1
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
⊆
X
∖
int
Z
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
=
X
∖
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))&=\operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cap Z\\&=\operatorname {cl} _{Z}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=Z\setminus \operatorname {int} _{Z}f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq X\setminus \operatorname {int} _{Z}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=X\setminus f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\end{aligned}}}
cl
X
g
−
1
(
E
)
⊆
g
−
1
(
cl
X
∪
f
Y
E
)
=
g
−
1
(
E
)
⊆
(
X
∖
Z
)
∪
(
g
−
1
(
E
)
∩
Z
)
=
(
X
∖
Z
)
∪
f
−
1
(
h
−
1
(
E
)
)
⊆
(
X
∖
Z
)
∪
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
⊆
(
X
∖
cl
X
(
Z
∖
f
−
1
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
)
∪
(
X
∖
cl
X
(
Z
∖
f
−
1
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
)
=
X
∖
cl
X
(
Z
∖
f
−
1
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}g^{-1}(E)&\subseteq g^{-1}(\operatorname {cl} _{X\cup _{f}Y}E)\\&=g^{-1}(E)\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup (g^{-1}(E)\cap Z)\\&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(E))\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq (X\setminus \operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\cup (X\setminus \operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\\&=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(Z\setminus f^{-1}(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\end{aligned}}}
cl
X
g
−
1
(
F
)
⊆
g
−
1
(
cl
X
∪
f
Y
F
)
=
g
−
1
(
F
)
⊆
(
X
∖
Z
)
∪
(
g
−
1
(
F
)
∩
Z
)
=
(
X
∖
Z
)
∪
f
−
1
(
h
−
1
(
F
)
)
⊆
(
X
∖
Z
)
∪
f
−
1
(
Y
∖
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
⊆
(
X
∖
cl
X
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
∪
(
X
∖
cl
X
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
=
X
∖
cl
X
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} _{X}g^{-1}(F)&\subseteq g^{-1}(\operatorname {cl} _{X\cup _{f}Y}F)\\&=g^{-1}(F)\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup (g^{-1}(F)\cap Z)\\&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(F))\\&\subseteq (X\setminus Z)\cup f^{-1}(Y\setminus \operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq (X\setminus \operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup (X\setminus \operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=X\setminus \operatorname {cl} _{X}f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\end{aligned}}}
이제,
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
=
V
(
E
,
F
)
∩
Z
{\displaystyle f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))=V(E,F)\cap Z}
인 열린집합
V
(
E
,
F
)
⊆
X
{\displaystyle V(E,F)\subseteq X}
을 잡고,
U
(
E
,
F
)
=
G
1
(
A
(
E
,
F
)
,
B
(
E
,
F
)
)
∩
(
X
∖
Z
∪
V
(
E
,
F
)
)
⊆
X
{\displaystyle U(E,F)=G_{1}(A(E,F),B(E,F))\cap (X\setminus Z\cup V(E,F))\subseteq X}
G
(
E
,
F
)
=
g
(
U
(
E
,
F
)
)
∪
h
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
⊆
X
∪
f
Y
{\displaystyle G(E,F)=g(U(E,F))\cup h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X\cup _{f}Y}
라고 하자.
g
−
1
(
G
(
E
,
F
)
)
=
U
(
E
,
F
)
∪
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
=
U
(
E
,
F
)
∪
(
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
∩
G
1
(
A
(
E
,
F
)
,
B
(
E
,
F
)
)
)
∩
=
U
(
E
,
F
)
∪
(
V
(
E
,
F
)
∩
Z
∩
G
1
(
A
(
E
,
F
)
,
B
(
E
,
F
)
)
)
=
U
(
E
,
F
)
∪
(
U
(
E
,
F
)
∩
Z
)
=
U
(
E
,
F
)
⊆
X
{\displaystyle {\begin{aligned}g^{-1}(G(E,F))&=U(E,F)\cup f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=U(E,F)\cup (f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\cap G_{1}(A(E,F),B(E,F)))\cap \\&=U(E,F)\cup (V(E,F)\cap Z\cap G_{1}(A(E,F),B(E,F)))\\&=U(E,F)\cup (U(E,F)\cap Z)\\&=U(E,F)\subseteq X\end{aligned}}}
h
−
1
(
G
(
E
,
F
)
)
=
h
−
1
(
g
(
U
(
E
,
F
)
∩
Z
)
)
∪
h
−
1
(
h
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
=
h
−
1
(
g
(
f
−
1
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
∪
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
=
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
⊆
Y
{\displaystyle {\begin{aligned}h^{-1}(G(E,F))&=h^{-1}(g(U(E,F)\cap Z))\cup h^{-1}(h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&=h^{-1}(g(f^{-1}(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\\&=G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\subseteq Y\end{aligned}}}
는 모두 열린집합 이므로,
G
(
E
,
F
)
⊆
X
∪
f
Y
{\displaystyle G(E,F)\subseteq X\cup _{f}Y}
는 열린집합 이다. 또한,
E
=
(
E
∩
g
(
X
∖
Z
)
)
∪
(
E
∩
h
(
Y
)
)
⊆
g
(
g
−
1
(
E
)
∖
Z
)
∪
h
(
h
−
1
(
E
)
)
⊆
g
(
A
(
E
,
F
)
∖
Z
)
∪
h
(
h
−
1
(
E
)
)
⊆
g
(
G
1
(
A
(
E
,
F
)
,
B
(
E
,
F
)
)
∖
Z
)
∪
h
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
⊆
g
(
U
(
E
,
F
)
)
∪
h
(
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
=
G
(
E
,
F
)
{\displaystyle {\begin{aligned}E&=(E\cap g(X\setminus Z))\cup (E\cap h(Y))\\&\subseteq g(g^{-1}(E)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\&\subseteq g(A(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\&\subseteq g(G_{1}(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&\subseteq g(U(E,F))\cup h(G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\&=G(E,F)\end{aligned}}}
F
=
(
F
∩
g
(
X
∖
Z
)
)
∪
(
F
∩
h
(
Y
)
)
⊆
g
(
g
−
1
(
F
)
∖
Z
)
∪
h
(
h
−
1
(
F
)
)
⊆
g
(
B
(
E
,
F
)
∖
Z
)
∪
h
(
h
−
1
(
F
)
)
⊆
g
(
X
∖
cl
X
G
1
(
A
(
E
,
F
)
,
B
(
E
,
F
)
)
∖
Z
)
∪
(
X
∪
f
Y
∖
h
(
cl
Y
G
2
(
h
−
1
(
E
)
,
h
−
1
(
F
)
)
)
)
⊆
X
∪
f
Y
∖
cl
X
∪
f
Y
G
(
E
,
F
)
{\displaystyle {\begin{aligned}F&=(F\cap g(X\setminus Z))\cup (F\cap h(Y))\\&\subseteq g(g^{-1}(F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\&\subseteq g(B(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\&\subseteq g(X\setminus \operatorname {cl} _{X}G_{1}(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup (X\cup _{f}Y\setminus h(\operatorname {cl} _{Y}G_{2}(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\&\subseteq X\cup _{f}Y\setminus \operatorname {cl} _{X\cup _{f}Y}G(E,F)\end{aligned}}}
이며 (
g
↾
X
∖
Z
{\displaystyle g\upharpoonright X\setminus Z}
가 열린 매장 이며
h
{\displaystyle h}
가 닫힌 매장 이라는 사실을 사용하였다), 만약
(
E
,
F
)
,
(
E
′
,
F
′
)
∈
D
X
∪
f
Y
{\displaystyle (E,F),(E',F')\in {\mathcal {D}}_{X\cup _{f}Y}}
E
⊆
E
′
{\displaystyle E\subseteq E'}
F
⊇
F
′
{\displaystyle F\supseteq F'}
라면
U
(
E
,
F
)
∖
Z
⊆
U
(
E
′
,
F
′
)
∖
Z
{\displaystyle U(E,F)\setminus Z\subseteq U(E',F')\setminus Z}
U
(
E
,
F
)
∩
Z
⊆
U
(
E
′
,
F
′
)
∩
Z
{\displaystyle U(E,F)\cap Z\subseteq U(E',F')\cap Z}
이므로
G
(
E
,
F
)
⊆
G
(
E
′
,
F
′
)
{\displaystyle G(E,F)\subseteq G(E',F')}
이다. 따라서,
G
:
D
X
∪
f
Y
→
T
X
∪
f
Y
{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{X\cup _{f}Y}\to {\mathcal {T}}_{X\cup _{f}Y}}
는 단조 정규성 연산자이다.
참고 문헌 [ 편집 ]
외부 링크 [ 편집 ]