집합족적 정규 공간

일반위상수학에서 집합족적 정규 공간(영어: collectionwise normal space)은 정규 공간보다 강한 분리공리를 만족시키는 위상 공간이다. 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 하우스도르프 공간과 정규 하우스도르프 공간 사이에 있다.

정의

위상 공간 $X$의 부분 집합들의 집합족 $\{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 이산 집합족(영어: discrete family)이라고 한다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{i\in I\colon N\cap S_{i}\neq \varnothing \}$이 공집합이거나 한원소 집합인 근방 $N\ni x$이 존재한다.
• $\{\operatorname {cl} S_{i}\}_{i\in I}$는 서로소 집합족이며, 임의의 $J\subseteq I$에 대하여 $\textstyle \bigcup _{j\in J}\operatorname {cl} S_{j}$는 닫힌집합이다.

위상 공간 $X$의 부분 집합들의 집합족 $\{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 분리 집합족(영어: separated family) 또는 거의 이산 집합족(영어: almost discrete family)이라고 한다.

• 임의의 $i\in I$에 대하여, $\textstyle S_{i}\cap \operatorname {cl} \bigcup _{j\in I\setminus \{i\}}S_{j}=\varnothing$이다.
• $\{S_{i}\}_{i\in I}$는 $\textstyle \bigcup _{i\in I}S_{i}$의 이산 집합족이다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 집합족적 정규 공간이라고 한다.

• 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 $\{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, $\forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}$인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$이 존재한다.
• 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 $\{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, $\forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}$인 열린집합들의 이산 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$이 존재한다.
• 임의의 이산 집합족 $\{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, $\forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}$인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$이 존재한다.
• 임의의 이산 집합족 $\{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, $\forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}$인 열린집합들의 이산 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$이 존재한다.

증명:

만약 $\{A_{i}\}_{i\in I}$가 이산 집합족이라면, $\{\operatorname {cl} A_{i}\}_{i\in I}$ 역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 $\{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, $\forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}$인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, $X$는 자명하게 정규 공간이다. 또한, $\{F_{i}\}_{i\in I}$는 닫힌집합들의 국소 유한 집합족이므로, 그 합집합 역시 닫힌집합이다. 따라서,

$\bigcup _{i\in I}F_{i}\subseteq V\subseteq \operatorname {cl} V\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}$

인 열린집합 $V\subseteq X$가 존재한다. 그렇다면,

$\{U_{i}\cap V\}_{i\in I}$

는 열린집합들로 이루어진 집합족이며,

$\forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}\cap V$

이다. 따라서 $\{U_{i}\cap V\}_{i\in I}$가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 $x\in X$에 대하여, $N\cap U_{i}\neq \varnothing$인 $i\in I$가 하나 이하인 근방 $N\ni x$를 찾아야 한다. 만약 $x\not \in \operatorname {cl} V$라면,

$N=X\setminus \operatorname {cl} V$

를 취한다. 만약 $x\in \operatorname {cl} V$라면, $N$을

$x\in U_{i}$

인 유일한 $U_{i}$로 잡을 수 있다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 완비 집합족적 정규 공간(영어: completely collectionwise normal space) 또는 유전 집합족적 정규 공간(영어: hereditarily collectionwise normal space)이라고 한다.

• $X$의 모든 부분 집합은 집합족적 정규 공간이다.
• 임의의 분리 집합족 $\{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, $\forall i\in I\colon S_{i}\subseteq U_{i}$인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_{i}\}_{i\in I}$이 존재한다.

성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

거리화 가능 공간	→	완전 정규 하우스도르프 공간 (T6)	→	완비 정규 하우스도르프 공간 (T5)	→	정규 하우스도르프 공간 (T4)
	↘			↑		↑
		단조 정규 하우스도르프 공간	→	완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간	→	집합족적 정규 하우스도르프 공간

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:182, Theorem 10}

• 거리화 가능 공간이다.
• 무어 공간이며, 집합족적 정규 공간이다.

예

순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 $\omega _{1}$은 완전 정규 공간이 아니다.

집합족적 정규 공간이 아닌 완전 정규 하우스도르프 공간이 존재한다.^{:184, Example G}

참고 문헌

• Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001. 

외부 링크

• “Collectionwise normal space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Hereditarily collectionwise normal space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Collectionwise normal”. 《PlanetMath》 (영어).