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<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math> 위의 [[유계 작용소]] <math>T\colon V\to V</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 수 <math>\lambda\in\mathbb K</math>에 대하여, 만약 <math>T-\lambda\colon V\to V</math>가 [[전단사 함수]]라면, <math>\lambda</math>를 <math>T</math>의 '''분해 집합'''({{llang|en|resolvent set}}) <math>\rho(T)\subseteq\mathbb K</math>에 속한다고 한다. 반대로, 분해 집합의 여집합, 즉 <math>T-\lambda</math>가 [[전단사 함수]]가 아닌 <math>\lambda\in\mathbb K</math>의 집합을 <math>T</math>의 '''스펙트럼''' |
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<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math> 위의 [[유계 작용소]] <math>T\colon V\to V</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 수 <math>\lambda\in\mathbb K</math>에 대하여, 만약 <math>T-\lambda\colon V\to V</math>가 [[전단사 함수]]라면, <math>\lambda</math>를 <math>T</math>의 '''분해 집합'''({{llang|en|resolvent set}}) <math>\rho(T)\subseteq\mathbb K</math>에 속한다고 한다. 반대로, 분해 집합의 여집합, 즉 <math>T-\lambda</math>가 [[전단사 함수]]가 아닌 <math>\lambda\in\mathbb K</math>의 집합을 <math>T</math>의 '''스펙트럼''' |
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:<math>\sigma(T)=\mathbb K\setminus\rho(T)</math> |
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:<math>\sigma(T)=\mathbb K\setminus\rho(T)</math> |
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이라고 한다. |
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이라고 한다.<ref name="Rudin"/>{{rp|104, Definition 4.17(c)}} |
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일반적으로, [[열린 사상 정리 (함수해석학)|열린 사상 정리]]에 따라서 [[바나흐 공간]] 사이의 [[전단사]] [[유계 작용소]]의 [[역함수]]는 [[유계 작용소]]이다. 즉, [[유계 작용소]] <math>T</math>의 분해 집합의 원소 <math>\lambda\in\rho(T)</math>에 대하여, <math>\lambda-T</math>의 역함수 |
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일반적으로, [[열린 사상 정리 (함수해석학)|열린 사상 정리]]에 따라서 [[바나흐 공간]] 사이의 [[전단사]] [[유계 작용소]]의 [[역함수]]는 [[유계 작용소]]이다. 즉, [[유계 작용소]] <math>T</math>의 분해 집합의 원소 <math>\lambda\in\rho(T)</math>에 대하여, <math>\lambda-T</math>의 역함수 |
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무한 차원 [[복소수 바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]]의 스펙트럼은 [[공집합]]이 될 수 없다. (반면, 유한 또는 무한 차원 [[실수 바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]]의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.) |
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무한 차원 [[복소수 바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]]의 스펙트럼은 [[공집합]]이 될 수 없다. (반면, 유한 또는 무한 차원 [[실수 바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]]의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.) |
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<math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]] <math>T</math>의 스펙트럼은 항상 <math>\mathbb K</math> 속의 [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]이다. 특히 |
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<math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]] <math>T</math>의 스펙트럼은 항상 <math>\mathbb K</math> 속의 [[콤팩트 집합]]이다.<ref name="Rudin">{{서적 인용 | last=Rudin | first=Walter | authorlink=월터 루딘 | 제목=Functional analysis | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | 날짜=1991 | zbl=0867.46001 | 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|판=2판 |언어=en}}</ref>{{rp|253, Theorem 10.13(a)}} 특히 |
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:<math>|\lambda|\le\|T\|\qquad(\forall\lambda\in\sigma(T))</math> |
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:<math>|\lambda|\le\|T\|\qquad(\forall\lambda\in\sigma(T))</math> |
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이다. 여기서 <math>\|T\|</math>는 [[작용소 노름]]이다. |
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이다. 여기서 <math>\|T\|</math>는 [[작용소 노름]]이다. |
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=== 정규 작용소 === |
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=== 정규 작용소 === |
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[[복소수 힐베르트 공간]] 위의 [[정규 작용소]]의 잔여 스펙트럼은 [[공집합]]이다. |
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[[복소수 힐베르트 공간]] 위의 [[정규 작용소]]의 잔여 스펙트럼은 [[공집합]]이다. |
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=== 분해식 === |
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<math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math> 위의 [[유계 작용소]] <math>T\colon V\to V</math> 및 <math>z\in\mathbb K\setminus\sigma(T)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 유계 작용소 |
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:<math>\frac1{z-T}\colon V\to V</math> |
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를 <math>T</math>의 <math>z</math>에서의 '''분해식'''(分解式, {{llang|en|resolvent}})이라고 한다. |
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만약 <math>\|T\|<|z|</math>라면, 다음과 같은 '''노이만 급수'''(Neumann級數, {{llang|en|Neumann series}})가 [[작용소 노름]]에서 수렴한다. |
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:<math>\frac1{z-T}=\frac1z\sum_{n=0}^\infty (T/z)^n</math> |
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== 예 == |
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== 예 == |
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이다. 즉, <math>\lambda-T_f</math>의 [[상 (수학)|상]]은 항상 [[조밀 집합]]이다. |
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이다. 즉, <math>\lambda-T_f</math>의 [[상 (수학)|상]]은 항상 [[조밀 집합]]이다. |
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== 역사 == |
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유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 [[에리크 이바르 프레드홀름]]이 1903년에 최초로 사용하였다.<ref>{{저널 인용|first=E. I. |last=Fredholm |저자고리=에리크 이바르 프레드홀름 | title=Sur une classe d’equations fonctionnelles |journal=Acta Mathematica |volume=27 |날짜=1903 |pages=365–390 |doi=10.1007/bf02421317|언어=fr}}</ref> |
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"스펙트럼"({{llang|de|Spektrum|슈펙트룸}})과 "분해식"({{llang|de|Resolvente|레졸벤테}})이라는 용어는 [[다비트 힐베르트]]가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 [[스펙트럼|원자 스펙트럼]] 등에 비유한 것이다. |
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== 응용 == |
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== 응용 == |
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== 참고 문헌 == |
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== 참고 문헌 == |
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{{각주}} |
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* Rudin, W. Functional Analysis, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1991. |
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* Dales et al., Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis, ISBN 0-521-53584-0 |
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== 바깥 고리 == |
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== 바깥 고리 == |
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* {{매스월드|id=OperatorSpectrum|title=Operator spectrum}} |
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* {{매스월드|id=OperatorSpectrum|title=Operator spectrum}} |
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* {{nlab|id=spectrum of an operator|title=Spectrum of an operator}} |
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* {{nlab|id=spectrum of an operator|title=Spectrum of an operator}} |
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* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/9125/what-is-the-origin-of-the-term-spectrum-in-mathematics|제목=What is the origin of the term “spectrum” in mathematics?|출판사=Math Overflow|언어=en}} |
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[[분류:스펙트럼 이론]] |
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[[분류:스펙트럼 이론]] |
함수해석학에서, 유계 작용소의 스펙트럼(영어: spectrum)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.
정의
가 실수체 또는 복소수체라고 하자. -바나흐 공간 위의 유계 작용소 가 주어졌다고 하자. 임의의 수 에 대하여, 만약 가 전단사 함수라면, 를 의 분해 집합(영어: resolvent set) 에 속한다고 한다. 반대로, 분해 집합의 여집합, 즉 가 전단사 함수가 아닌 의 집합을 의 스펙트럼
이라고 한다.[1]:104, Definition 4.17(c)
일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소의 역함수는 유계 작용소이다. 즉, 유계 작용소 의 분해 집합의 원소 에 대하여, 의 역함수
를 정의할 수 있으며, 이는 유계 작용소를 이룬다.
스펙트럼의 분해
바나흐 공간 위의 유계 작용소 의 스펙트럼 는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.
이 성분들은 각각
- 점 스펙트럼(點spectrum, 영어: point spectrum)
- 잔여 스펙트럼(殘餘spectrum, 영어: residual spectrum)
- 연속 스펙트럼(連續spectrum, 영어: continuous spectrum)
이며, 다음과 같다.
어떤 수 에 대하여 이려면 가 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.
- 가 단사 함수가 아니다. 이러한 들의 집합을 점 스펙트럼 라고 한다. 이 경우 는 의 고윳값이며, 인 고유 벡터 가 존재한다.
- 가 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다.
- 는 단사 함수이지만 그 상이 조밀 집합이 아니다. 이러한 들의 집합을 잔여 스펙트럼 라고 한다.
- 는 단사 함수이며 그 상이 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한 들의 집합을 연속 스펙트럼 라고 한다. 이 경우, 는 의 조밀 집합 위에 정의되는, 비유계 작용소이다.
성질
무한 차원 복소수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합이 될 수 없다. (반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.)
-바나흐 공간 위의 유계 작용소 의 스펙트럼은 항상 속의 콤팩트 집합이다.[1]:253, Theorem 10.13(a) 특히
이다. 여기서 는 작용소 노름이다.
유한 차원
가 유한 차원 -바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면, -선형 변환 가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원 -바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.
콤팩트 작용소
복소수 바나흐 공간 위의 콤팩트 작용소 의 경우, 다음이 성립한다.
- 연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는 이다.
- 잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는 이다.
즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.
정규 작용소
복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.
분해식
-바나흐 공간 위의 유계 작용소 및 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 유계 작용소
를 의 에서의 분해식(分解式, 영어: resolvent)이라고 한다.
만약 라면, 다음과 같은 노이만 급수(Neumann級數, 영어: Neumann series)가 작용소 노름에서 수렴한다.
예
행렬
실수 행렬
는 위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는 위의 작용소로서 점 스펙트럼 를 갖는다.
시프트
복소수 힐베르트 공간 를 생각하자. 그렇다면 사상
은 유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다. 는 고윳값을 가지지 않지만, 는 전사 함수가 아니므로 의 스펙트럼은 이다. 이 경우, 의 상은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.
곱셈
임의의 에 대하여, 측도 공간 위의 르베그 공간
는 -바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수
의 상이 유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합 에 대하여 의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서 는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소
는 -유계 작용소이다.
이제, 집합
를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, 이다.
증명 ():
임의의 가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라
인 양의 실수 이 존재한다.
그렇다면, 가측 함수
를 생각하자. 그렇다면,
이다. 따라서 이다.
증명 (, ):
임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열
을 정의하자. (여기서 는 지시 함수이다.)
그렇다면,
이므로, 특히
이다. 이에 따라, 의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.
증명 (, ):
임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열
을 정의하자. (여기서 는 지시 함수이다.)
그렇다면,
이므로, 특히
이다. 이에 따라, 의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.
그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.
- 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이며, 만약 그렇지 않다면 이다. 특히, 는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.
증명 ():
지시 함수 는 의 고유 벡터이다.
증명 ():
임의의
에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.
여기서 는 지시 함수이다.
그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라
이다. 즉, 의 상은 항상 조밀 집합이다.
역사
유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다.[2]
"스펙트럼"(독일어: Spektrum 슈펙트룸[*])과 "분해식"(독일어: Resolvente 레졸벤테[*])이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.
응용
양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간
위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜
이 주어졌으며,
이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자
를 의 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수
에 대하여 유계 작용소
를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상
의 꼴이다. 이에 따라, 를 의 "스펙트럼"으로 여길 수 있다.
의 경우, 의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.
참고 문헌
바깥 고리