폴란드 공간: 두 판 사이의 차이
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[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''폴란드 공간'''이라고 한다. |
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* [[제2 가산]] [[완비 거리화 가능 공간]]이다.<ref name="김승욱">{{서적 인용|저자=김승욱|제목=위상수학: 집합론을 중심으로|출판사=경문사|판=2판|날짜=2004|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2604|isbn=89-7282-587-5|언어=ko}}</ref>{{rp|228}} |
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* <math>[0,1]^{\aleph_0}</math>의 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]과 [[위상 동형]]이다.<ref>{{서적 인용 | last=Srivastava| first=Shashi Mohan | title=A course on Borel sets | 날짜=1991 | publisher=Springer-Verlag | isbn=978-3-642-85475-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|doi=10.1007/978-3-642-85473-6|권=180|zbl=0903.28001|언어=en}}</ref>{{rp|55}} ('''힐베르트 입방체'''({{llang|en|Hilbert cube}}) <math>[0,1]^{\aleph_0}</math>는 [[실수]]의 [[닫힌구간]] <math>[0,1]</math>의 가산 무한 [[곱공간]]이다.) |
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마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다. |
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'''폴란드 군'''은 폴란드 공간인 [[위상군]] |
'''폴란드 군'''(Poland群, {{llang|en|Polish group}})은 폴란드 공간인 [[위상군]]이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다. |
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== 성질 == |
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=== 연산에 대한 닫힘 === |
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'''마주르키에비치 정리'''(-定理, {{llang|en|Mazurkiewicz theorem}})에 따르면, [[폴란드 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.<ref name="김승욱"/>{{rp|230}} |
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폴란드 공간은 다음과 같은 기본적인 몇 가지 성질을 갖는다.<ref name="김승욱"/>{{rp|229}} |
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* <math>A</math>는 <math>X</math>의 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이다. |
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* 폴란드 공간의 [[열린집합]]은 폴란드 공간이다. |
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특히, 모든 [[열린집합]]과 모든 [[닫힌집합]]은 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이므로, 폴란드 공간의 [[열린집합]] 또는 [[닫힌집합]]은 폴란드 공간이다. |
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폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다. |
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부분공간이 폴란드 공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음의 [[마주르키에비치 정리]]로 주어진다.<ref name="김승욱"/>{{rp|230}} 이 정리에는 폴란드 수학자 [[스테판 마주르키에비치]](Stefan Mazurkiewicz)의 이름이 붙어 있다. |
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* [[가산 집합|가산]] 개의 폴란드 공간들의 [[곱공간]]은 폴란드 공간이다.<ref name="김승욱"/>{{rp|229}} |
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* [[가산 집합|가산]] 개의 폴란드 공간들의 [[분리합집합]]은 폴란드 공간이다.<ref name="김승욱"/>{{rp|229}} |
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[[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 속의 부분 집합들 <math>(A_i)_{i\in\mathbb N}</math>이 각각 폴란드 공간을 이룬다면, 그 [[교집합]] <math>\bigcap_{i\in\mathbb N}A_i</math> 역시 폴란드 공간을 이룬다. |
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* 마주르키에비치 정리: X가 폴란드 공간이고 A가 X의 부분공간일 때, A가 폴란드 공간일 필요충분조건은 A가 X 상에서 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]인 것이다. |
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=== 위상수학적 성질 === |
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따라서 X가 폴란드 공간일 필요충분조건은 <math>[0,1]^N</math> 안의 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]과 [[위상동형]]인 것이다. 그밖에 폴란드 공간에서는 다음의 [[칸토어-벤딕손 정리]]도 성립한다. 이 정리에는 [[독일]]의 수학자 [[게오르크 칸토어]]와 [[스웨덴]]의 수학자 [[이바르 오토 벤딕손]]의 이름이 붙어 있다. |
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'''[[칸토어-벤딕손 정리]]'''에 따르면, 폴란드 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음이 성립한다. |
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[[베르 공간 (집합론)|베르 공간]] <math>\mathbb N^{\aleph_0}</math>은 [[가산 무한]] [[이산 공간]] <math>\mathbb N</math>의 [[가산 무한]] 개 [[곱공간]]이다. [[칸토어 공간]] <math>\{0,1\}^{\aleph_0}</math>은 크기 2의 [[이산 공간]] <math>\{0,1\}</math>의 [[가산 무한]] 개 [[곱공간]]이다. 이 경우, |
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* 임의의 폴란드 공간 <math>X</math>에 대하여, 만약 <math>X\ne\varnothing</math>이라면, [[연속 함수|연속]] [[전사 함수]] <math>\mathbb N^{\aleph_0}\to X</math>가 존재한다. |
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* 임의의 폴란드 공간 <math>X</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>가 [[비가산 집합]]이라면, <math>X</math>는 <math>\{0,1\}^{\aleph_0}</math>과 [[위상 동형]]인 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>을 갖는다. |
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=== 집합론적 성질 === |
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Functional analysis and its applications|쪽=134–197|언어=en}}</ref>{{rp|§3.1.2}} |
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:<math>|X|\in\{0,1,2,\dots,\aleph_0,2^{\aleph_0}\}</math> |
:<math>|X|\in\{0,1,2,\dots,\aleph_0,2^{\aleph_0}\}</math> |
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다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 <math>2^{\aleph_0}</math> 이하이며, 또한 ([[연속체 가설]]과 독립적으로) <math>\aleph_0<|X|<2^{\aleph_0}</math>인 폴란드 공간 <math>X</math>는 존재하지 않는다.<ref name="Berberian"/>{{rp|§3.1}} |
다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 <math>2^{\aleph_0}</math> 이하이며, 또한 ([[연속체 가설]]과 독립적으로) <math>\aleph_0<|X|<2^{\aleph_0}</math>인 폴란드 공간 <math>X</math>는 존재하지 않는다.<ref name="Berberian"/>{{rp|§3.1}} |
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=== 측도론적 성질 === |
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폴란드 공간에 [[보렐 시그마 대수]]를 부여하면, 이는 [[가측 공간]]을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 ([[가측 공간]]으로서) 동형인 [[가측 공간]]을 '''표준 보렐 공간'''(標準Borel空間, {{llang|en|standard Borel space}})이라고 한다. |
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* 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 <math>(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> |
* 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 <math>(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> |
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* 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 <math>(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))</math> |
* 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 <math>(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))</math> |
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== 예 == |
== 예 == |
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[[이산 공간]]에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다. |
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* [[가산 집합]]이다. |
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* 열린 [[구간]] <math>(0,1)\subset\mathbb R</math>은 표준적인 [[거리 공간]] 구조로는 [[완비 거리 공간]]이 아니지만, 실수선 <math>\mathbb R</math>와 [[위상동형]]이므로 폴란드 공간이다. |
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* [[제2 가산 공간]]이다. |
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* 폴란드 공간이다. |
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(이는 비가산 이산 공간은 [[제2 가산 공간]]이 아니므로 폴란드 공간이 아니기 때문이다.) |
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== 역사와 어원 == |
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'''힐베르트 입방체'''({{llang|en|Hilbert cube}}) <math>[0,1]^{\aleph_0}</math>는 [[실수]]의 [[닫힌구간]] <math>[0,1]</math>의 가산 무한 [[곱공간]]이며, 이는 폴란드 공간이다. |
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'''[[베르 공간 (집합론)|베르 공간]]''' <math>\mathbb N^{\aleph_0}</math>은 [[가산 무한]] [[이산 공간]] <math>\mathbb N</math>의 [[가산 무한]] 개 [[곱공간]]이다. |
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'''[[칸토어 공간]]''' <math>\{0,1\}^{\aleph_0}</math>은 크기 2의 [[이산 공간]] <math>\{0,1\}</math>의 [[가산 무한]] 개 [[곱공간]]이다. |
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== 역사 == |
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[[바츠와프 시에르핀스키]] · [[카지미에시 쿠라토프스키]] · [[알프레트 타르스키]] 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 [[폴란드]]의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.<ref name="김승욱"/>{{rp|228}} |
[[바츠와프 시에르핀스키]] · [[카지미에시 쿠라토프스키]] · [[알프레트 타르스키]] 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 [[폴란드]]의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.<ref name="김승욱"/>{{rp|228}} |
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마주르키에비치 정리는 [[스테판 마주르키에비치]]가 증명하였다. |
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== 참고 문헌 == |
== 참고 문헌 == |
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* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Polish_Space|제목=Definition: Polish space|웹사이트=ProofWiki|언어=en}} |
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Polish_Space|제목=Definition: Polish space|웹사이트=ProofWiki|언어=en}} |
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* {{웹 인용|url=http://homepages.math.uic.edu/~marker/math512/dst.pdf|제목=Descriptive set theory|이름=David|성=Marker|날짜=2002|언어=en}} |
* {{웹 인용|url=http://homepages.math.uic.edu/~marker/math512/dst.pdf|제목=Descriptive set theory|이름=David|성=Marker|날짜=2002|언어=en}} |
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== 같이 보기 == |
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* [[완비 거리 공간]] |
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[[분류:일반위상수학]] |
[[분류:일반위상수학]] |
2016년 8월 27일 (토) 08:54 판
일반위상수학에서, 폴란드 공간(Poland空間, 영어: Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술 집합론(영어: descriptive set theory)을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다.
정의
위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 폴란드 공간이라고 한다.
- 제2 가산 완비 거리화 가능 공간이다.[1]:228
- 분해 가능 완비 거리화 가능 공간이다.
- 의 Gδ 집합과 위상 동형이다.[2]:55 (힐베르트 입방체(영어: Hilbert cube) 는 실수의 닫힌구간 의 가산 무한 곱공간이다.)
마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다.
폴란드 군(Poland群, 영어: Polish group)은 폴란드 공간인 위상군이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.
성질
연산에 대한 닫힘
마주르키에비치 정리(-定理, 영어: Mazurkiewicz theorem)에 따르면, 폴란드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:230
- 역시 폴란드 공간이다.
- 는 의 Gδ 집합이다.
특히, 모든 열린집합과 모든 닫힌집합은 Gδ 집합이므로, 폴란드 공간의 열린집합 또는 닫힌집합은 폴란드 공간이다.
폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
하우스도르프 공간 속의 부분 집합들 이 각각 폴란드 공간을 이룬다면, 그 교집합 역시 폴란드 공간을 이룬다.
위상수학적 성질
칸토어-벤딕손 정리에 따르면, 폴란드 공간 에 대하여, 다음이 성립한다.
베르 공간 은 가산 무한 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 칸토어 공간 은 크기 2의 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 이 경우,
- 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 만약 이라면, 연속 전사 함수 가 존재한다.
- 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 만약 가 비가산 집합이라면, 는 과 위상 동형인 부분 집합 을 갖는다.
집합론적 성질
임의의 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다.
다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) 인 폴란드 공간 는 존재하지 않는다.[3]:§3.1
측도론적 성질
폴란드 공간에 보렐 시그마 대수를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 (가측 공간으로서) 동형인 가측 공간을 표준 보렐 공간(標準Borel空間, 영어: standard Borel space)이라고 한다.
두 표준 보렐 공간 , 에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.[3]:§3.1.2
모든 표준 보렐 공간은 다음 가측 공간 가운데 정확히 하나와 동형이다.[3]:§3.1.2 (가측 공간으로서의 동형은 위상 동형보다 더 약하다.)
- 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선
- 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합
- 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 인 유한 집합 ()
예
(이는 비가산 이산 공간은 제2 가산 공간이 아니므로 폴란드 공간이 아니기 때문이다.)
모든 유클리드 공간 은 폴란드 공간이다. 보다 일반적으로, 모든 분해 가능 바나흐 공간은 폴란드 공간이다.
힐베르트 입방체(영어: Hilbert cube) 는 실수의 닫힌구간 의 가산 무한 곱공간이며, 이는 폴란드 공간이다.
베르 공간 은 가산 무한 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다.
칸토어 공간 은 크기 2의 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다.
역사
바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.[1]:228
마주르키에비치 정리는 스테판 마주르키에비치가 증명하였다.
참고 문헌
- ↑ 가 나 다 라 마 김승욱 (2004). 《위상수학: 집합론을 중심으로》 2판. 경문사. ISBN 89-7282-587-5.
- ↑ Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 180. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. Zbl 0903.28001.
- ↑ 가 나 다 Berberian, S. K. (1988). 〈Borel spaces〉 (PDF). 《Functional analysis and its applications》 (영어). 134–197쪽. Zbl 0806.54031.
- Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. Zbl 0951.54001.
- Kechris, Alexander S. (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. Zbl 0819.04002.
바깥 고리
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Polish space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Polish space”. 《nLab》 (영어).
- “Definition: Polish space”. 《ProofWiki》 (영어).
- Marker, David (2002). “Descriptive set theory” (PDF) (영어).