보렐 집합

측도론에서, 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린집합들로부터 가산 번 합집합 · 가산 번의 교집합 · 차집합 연산을 통해 만들 수 있는 집합을 가리킨다.

정의

위상 공간 $(X,{\mathcal {U}})$의 보렐 시그마 대수(영어: Borel sigma-algebra) ${\mathcal {B}}(X)$는 열린집합들의 집합 ${\mathcal {U}}$를 포함하는 최소의 시그마 대수이다.^{:68, §11.A:83, §3.1} $X$의 보렐 집합은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, 열린집합으로부터 가산 번의 합집합·교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다.

보렐 측도(Borel測度, 영어: Borel measure)는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다.

보렐 위계

보렐 시그마 대수 ${\mathcal {B}}(X)$는 초한 귀납법을 사용하여, 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

임의의 순서수 $\alpha >0$ 및 위상 공간 $(X,{\mathcal {U}})$에 대하여, 다음과 같은 보렐 위계(영어: Borel hierarchy)를 정의하자.^{:68, §II.B}

${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)={\mathcal {U}}$ (모든 열린집합들의 집합)

${\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)=\{X\setminus S\colon S\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}\}$

${\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)=\left\{\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}\colon \forall i\in \mathbb {N} (X_{i}\in {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha _{i}}^{0}\land \alpha _{i}<\alpha )\right\}$

${\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}(X)={\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)\cap {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)$

그렇다면 다음이 성립한다.

• $\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}={\mathcal {B}}(X)$
• 임의의 순서수 $\alpha$에 대하여, ${\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)\subseteq {\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha +1}^{0}(X)$

즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.^{:69, §11.B}

${\begin{matrix}&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\{\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{3}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\&&{\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}&&&\cdots \end{matrix}}$

여기서 $A\to B$는 $A\subseteq B$를 의미한다.

보렐 위계의 일부 단계의 원소들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

보렐 위계의 단계	이름
${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}$	열리고 닫힌 집합들의 집합
${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$	열린집합들의 집합
${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$	닫힌집합들의 집합
${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}$	Fσ 집합(Fσ集合, 영어: Fσ set)들의 집합
${\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}$	Gδ 집합(Gδ集合, 영어: Gδ set)들의 집합

성질

두 위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$는 (보렐 시그마 대수에 대하여) 가측 함수이다. 즉, 보렐 집합 $S\subseteq Y$의 원상 $f^{-1}(S)\subseteq X$은 보렐 집합이다. (반면, 만약 $X=Y=\mathbb {R}$일 경우, 르베그 가측 집합의 연속 함수에 대한 원상은 일반적으로 르베그 가측 집합이 아니다.) 보렐 집합의 연속 함수에 대한 상은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 $X$와 $Y$가 폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석적 집합이다.

보렐 집합의 수

비가산 폴란드 공간의 보렐 집합의 수는 $2^{\aleph _{0}}$이다. (모든 비가산 폴란드 공간은 보렐 측도 공간으로서 실수선 $\mathbb {R}$와 동형이다.)

$|{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )|=2^{\aleph _{0}}$

이는 보렐 시그마 대수의 초한 귀납법 작도로서 보일 수 있다. 즉, $|{\mathcal {U}}(\mathbb {R} )|=2^{\aleph _{0}}$이며, 초한귀납법의 각 단계에서

$(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}$

이므로 기수는 $2^{\aleph _{0}}$을 초과하지 않는다. 반면, 실수의 르베그 가측 집합의 수는

$|{\mathcal {L}}(\mathbb {R} )|=2^{2^{\aleph _{0}}}$

이다. 이는 크기가 $2^{\aleph _{0}}$이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분집합은 르베그 가측 집합이기 때문이다.

루진 분리 정리

루진 분리 정리(Лузин分離定理, 영어: Lusin’s separation theorem)에 따르면, 폴란드 공간 $X$(과 동형인 가측 공간) 속의 두 서로소 집합 $A,B\subseteq X$에 대하여, 만약 $A$와 $B$가 해석적 집합이라면, $A\subseteq C$이자 $B\subseteq X\setminus C$인 보렐 집합 $C$가 존재한다.^{:87, Theorem 14.7}

예

수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 실수선 $\mathbb {R}$에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.)

집합 $A\subseteq \mathbb {R}$가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자.

• $a\in A$의 연분수 표현

$a=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}$

의 계수 $a_{i}$ 가운데, $a_{k_{i}}\mid a_{k_{i+1}}$인 부분 수열 $a_{k_{0}},a_{k_{1}},\ldots$이 존재한다.

그렇다면 $A$는 보렐 집합이 아닌 해석적 집합이다.

역사

보렐 집합의 개념은 에밀 보렐이 1898년에 도입하였다.

"F_σ 집합"이라는 용어에서, F는 프랑스어: fermé 페르메^[*](닫힌집합)의 머리글자이며, σ는 프랑스어: somme 솜^[*](합집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다. 마찬가지로, "G_δ 집합"이라는 용어에서, G는 독일어: Gebiet 게비트^[*](근방)의 머리글자이며, δ는 독일어: Durschnitt 두르슈니트^[*](교집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.

루진 분리 정리는 니콜라이 니콜라예비치 루진이 1927년에 증명하였다.

참고 문헌

• Dudley, Richard (1989). 《Real Analysis and probability》 (영어). Wadsworth, Brooks and Cole. 
• Royden, Halsey (1988). 《Real Analysis》 (영어). Prentice Hall. 

바깥 고리

• “Borel set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Borel field of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Borel set, criterion for a”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Borel function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Borel measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Suslin theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Separability of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Luzin separability principles”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel sigma-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel hierarchy”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “F_sigma set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “G_delta set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Borel subset”. 《nLab》 (영어). 
• “G-delta subspace”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: Borel sigma-algebra”. 
• “Definition: F-sigma set”. 
• “Definition: G-delta set”. 
• “Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?” (영어). 

같이 보기

• 해석적 집합
• 사영 집합