동형 정리

추상대수학에서, 동형 정리(同型定理, 영어: isomorphism theorem)는 준동형사상과 부분 대수, 합동 관계 사이의 관계를 나타내는 3개의 정리다. 이는 보편 대수의 정리로, 임의의 대수적 구조에 대하여 정의할 수 있다.

정의

대수적 구조 $(S,F)$는 집합 $S$와, $S^{\times n}\to S$ 꼴의 함수들의 집합 $F$의 순서쌍이다. 같은 연산들을 갖는 두 대수의 준동형사상은 연산들을 보존시키는 함수이다.

제1 동형 정리

대수 준동형사상 $\phi \colon A\to B$에 대하여, 다음 명제들이 성립한다.

• $\phi (A)\subset B$는 $B$의 부분대수이다.
• $a\sim b\iff \phi (a)=\phi (b)$는 $A$ 위의 합동 관계이다.
• $f/\sim \colon A/\sim \to B$는 대수의 동형사상이다.

제2 동형 정리

대수 $(A,F)$ 및 부분대수 $(B,F|_{B})\subset (A,F)$ 및 $A$ 위의 합동 관계 $\sim$가 주어졌다고 하면, 다음 명제들이 성립한다.

• $\sim |_{B}$는 $B$ 위의 합동 관계이다.
• $B^{\sim }=\{[a]\in A/\sim |[a]\cap B\neq \varnothing \}$가 $B$와 겹치는 $\sim$-동치류들의 집합이라고 하자. 그렇다면 $B^{\sim }$은 $A/\sim$의 부분대수이다.,
• $B^{\sim }$은 $B/\sim |_{B}$와 동형이다.

제3 동형 정리

대수 $A$ 위에 두 합동 관계 $\sim _{1},\sim _{2}$가 주어졌으며, $a\sim _{1}b$라면 $a\sim _{2}b$이라고 하자. 즉, $\sim _{1}$이 $\sim _{2}$보다 더 고른 동치관계라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

• $A/\sim _{1}$ 위의 이항 관계 $\sim _{2}/\sim _{1}$를 $[a]\sim _{2}/\sim _{1}[b]\iff a\sim _{2}b$로 정의하자. 그렇다면 $\sim _{2}/\sim _{1}$는 $A/\sim _{1}$ 위의 합동 관계이다.
• $(A/\sim _{1})/(\sim _{2}/\sim _{1})$는 $A/\sim _{2}$과 동형이다.

예

위 3개의 동형 정리는 보편 대수학에 따라, 임의의 대수적 구조에 적용할 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.

보편 대수	군	환	가군
대수적 구조 $A$	군 $G$	환 $R$	$R$-좌가군 $M$
합동 관계 $\sim$	정규부분군 $N\vartriangleleft G$	아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subset R$	부분가군 $N\subset M$
부분 대수 $B\subset A$	부분군 $H\leq G$	부분환 $S\subset R$	부분가군 $P\subset M$
$B^{\sim }\subset G/\sim$	$(HN)/N\subset G/N$	$(S+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}\subset R/{\mathfrak {a}}$	$(N+P)/P\subset M/P$

군 동형 정리

제1 동형 정리

군 준동형사상 $\phi \colon G\to L$에 대하여,

• $\phi (G)\leq L$
• $\ker \phi \vartriangleleft G$
• $G/\ker \phi \cong \phi (G)$

제2 동형 정리

군 $G$ 및 부분군 $H\leq G$ 및 정규부분군 $N\vartriangleleft G$에 대하여,

• $H\cap N\vartriangleleft H$
• $(HN)/N\leq G/N$
  • 따라서, $HN\leq G$.
• $(HN)/N\cong H/(H\cap N)$

제3 동형 정리

군 $G$ 및 정규부분군 $N_{1}\leq N_{2}\vartriangleleft G$에 대하여,

• $N_{2}/N_{1}\vartriangleleft A/N_{1}$
• $(A/N_{1})/(N_{2}/N_{1})\cong A/N_{2}$

환 동형 정리

제1 동형 정리

환 준동형사상 $\phi \colon R\to S$에 대하여,

• $\phi (R)$는 $S$의 부분환이다.
• $\ker \phi$는 $R$의 아이디얼이다.
• $R/\ker \phi \cong \phi (R)$

제2 동형 정리

환 $R$ 및 부분환 $S\subset R$ 및 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subset R$에 대하여,

• $S\cap {\mathfrak {a}}$는 $S$의 아이디얼
• $(S+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}$는 $R/{\mathfrak {a}}$의 부분환
  • 따라서, $S+{\mathfrak {a}}$는 $R$의 부분환이다.
• $(S+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}\cong S/(S\cap {\mathfrak {a}})$

제3 동형 정리

환 $R$ 및 아이디얼 ${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset R$에 대하여,

• ${\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1}$은 $R/{\mathfrak {a}}_{1}$의 아이디얼이다.
• $(R/{\mathfrak {a}}_{1})/({\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1})\cong R/{\mathfrak {a}}_{2}$

가군 동형 정리

모든 가군은 주어진 환 $R$에 대한 (좌)가군이다.

제1 동형 정리

$R$-가군 준동형사상 $\phi \colon M\to N$에 대하여,

• $\phi (M)$는 $N$의 부분가군이다.
• $\ker \phi$는 $M$의 부분가군이다.
• $M/\ker \phi \cong \phi (M)$

제2 동형 정리

환 $M$ 및 부분가군 $N,P\subset M$에 대하여,

• $N\cap P$는 $N$의 부분가군이다.
• $(N+P)/P$는 $M/N$의 부분가군이다.
  • 따라서, $N+P$는 $M$의 부분가군이다.
• $(N+P)/P\cong N/(N\cap P)$

제3 동형 정리

환 $M$ 및 부분가군 $N_{1},N_{2}\subset M$에 대하여,

• $N_{2}/N_{1}$은 $M/N_{1}$의 부분가군이다.
• $(M/N_{1})/(N_{2}/N_{1})\cong M/N_{2}$

역사

에미 뇌터가 1927년에 증명하였다.

참고 문헌

• Burris, Stanley N.; H. P. Sankappanavar. 《A course in universal algebra》. Springer. ISBN 3-540-90578-2. 
• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. Zbl 1037.00003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “First Group Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Group Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Third Group Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “First Ring Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Second Ring Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Third Ring Isomorphism Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.