P진수

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p진수(p-adic number)는 쿠르트 헨젤이 1897년에 도입한 개념이다. 간단히 말해, 유리수 체계를 확장해서 실수 체계를 만들듯이 임의의 소수 p에 대해 유리수 체계를 다른 방법으로 확장한 p진법 체계를 구성하는 것이다. 이와 같이 유리수체를 확장한 것을 p진체라 하고, 그 원소들을 p진수라 한다. 이는 수론에서 중요하게 쓰인다.

유리수체를 p진체로 확장하는 과정은 절대값이라는 개념을 새롭게 해석하여 나오는 것이다. p진수는 멱급수의 개념을 수론에 적용시키려는 시도에서 나왔다. 현재 p진수는 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있다. 예를 들어 p진 해석학은 미적분학의 p진법 버전이라 할 수 있다.

보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 p진체 Q_p는 유리수체 Q의 완비화이다. 또한 Q_p에는 p진 부치(valuation)가 주어져 있기에 거리공간이 되며 따라서 위상공간이기도 하다. 이 거리공간은 완비(즉, 모든 코시 수열이 수렴한다)이며, 그렇기에 Q_p 상에서 마치 실수체 R 상에서와 같은 해석학을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 대수적 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.

참고 문헌

• Gouvêa, Fernando Q. 《p-adic Numbers : An Introduction》. Universitext 2판. Springer. ISBN 3-540-62911-4. ISSN 0172-5939.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Robert, Alain M. 《A Course in p-adic Analysis》. Graduate Texts in Mathematics 198. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3254-2. ISBN 978-1-4419-3150-4. ISSN 0072-5285. 
• Steen, Lynn Arthur. 《Counterexamples in Topology》. Dover. ISBN 0-486-68735-X. 

바깥 고리

• p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
• Completion of Algebraic Closure - on-line lecture notes