초켈러 다양체

미분기하학에서, 초켈러 다양체(hyper-Kähler manifold)는 그 접공간이 사원수의 좌표를 가진 공간의 구조를 가지는 미분다양체이다.

정의

미분다양체 $M$ 위의 초켈러 구조(hyper-Kähler structure)는 세 개의 서로 선형독립 복소 구조 $(I,J,K)$와 리만 계량 $g$로 이루어진다. 계량에 대하여, $I$, $J$, $K$ 각각이 켈러 구조를 이루어야 한다.

이에 따라, 임의의 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$을 만족하는 세 실수 $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$가 주어지면, $xI+yJ+zK$도 마찬가지로 복수 구조를 이룬다. 즉, 2차원 구의 각 점에 복소 구조가 대응하게 된다.

초켈러 다양체는 초켈러 구조를 갖춘 미분다양체이다.

성질

초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다.

$4N$차원 초켈러 다양체의 홀로노미는 $\operatorname {USp} (4N)$의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체(quaternion-Kähler manifold)이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가 $\operatorname {SU} (N)$의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가 $\operatorname {USp} (4N)\times \operatorname {USp} (4)$인 경우다. $\operatorname {USp} (4N)\subset \operatorname {SU} (4N)$이다.)

초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 ${\mathcal {N}}=2$)를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다.<ref>