부분 정의 함수의 예
단사 부분 정의 함수의 예
수학에서 부분 정의 함수(部分定義函數, 영어: partially defined function) 또는 부분 함수(部分函數, 영어: partial function)는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다.
집합
와
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
에서
로 가는 부분 정의 함수는 정의역
이
의 부분 집합이며, 공역이
인 함수
이다. 이들의 집합을
로 표기하자.
![{\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y)=\bigsqcup _{A\subseteq X}Y^{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d4688a5257bf35533bbafca001ce1fca314856)
부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합
![{\displaystyle X_{\bullet }=X\sqcup \{\bullet _{X}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9a2f3621d85165aadca6d7a75e1363a6310e34)
![{\displaystyle Y_{\bullet }=X\sqcup \{\bullet _{Y}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b02d46cc576b66b8ce8e5cb523ab5a79e77e10)
를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.
- 부분 정의 함수
![{\displaystyle f\colon X\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e)
- 점을 보존하는 함수
![{\displaystyle f_{\bullet }\colon X_{\bullet }\to Y_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbbf0dfbc99688e3b1323e86e303cd64a36fa80)
- 함수
![{\displaystyle f_{\bullet }|_{X}\colon X\to Y_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22766e6142e3791459f0681f32d06ede1d3f1b4b)
이 경우
![{\displaystyle \operatorname {dom} f=f_{\bullet }^{-1}(Y)=f_{\bullet }^{-1}(Y_{\bullet }\setminus \{\bullet _{Y}\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c028f1d332f0f55cc73887fcbf93d557306cf5c)
이다. 특히,
는 지수 집합
와 표준적으로 일대일 대응한다.
부분 순서[편집]
부분 정의 함수들의 집합을
라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.
![{\displaystyle f\leq g\iff \left(\operatorname {dom} f\subseteq \operatorname {dom} g\land g|_{\operatorname {dom} f}=f\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7e9f59f32e01135e50f994b916dc388353635b)
그렇다면
는 부분 순서 집합을 이룬다.
기수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
는 정의역의 크기가
미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.[1]:211, Definition VII.6.1
![{\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)\colon |\operatorname {dom} f|<\kappa \}=\bigsqcup _{A\subseteq X}^{|A|<\kappa }Y^{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df6d19d3e506cb0ccb40fb7f0f4618709e6c722)
이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.
조합론적 성질[편집]
의 크기는 다음과 같다.
![{\displaystyle |\operatorname {Pfn} (X,Y)|=(|Y|+1)^{|X|}=\sum _{A\in {\mathcal {P}}(X)}|Y|^{|A|}=\sum _{0\leq \kappa \leq |X|}|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076bd739bfc208fe0fd32a91efb2c856a86915eb)
(이는
,
가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)
의 크기는 다음과 같다.
![{\displaystyle |\operatorname {Pfn} (X,Y;\lambda )|=\sum _{0\leq \kappa <\lambda }|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ea5103c721589fb60bdc1c311b0b134beaef16)
순서론적 성질[편집]
극대·극소 원소[편집]
의 (유일한) 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다.
의 극대 원소는
인 함수
이다.
반사슬 조건[편집]
만약
가 가산 집합이라면,
는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.)
임의의 집합
,
및 기수
가 주어졌다고 하고,
![{\displaystyle \lambda =(|Y|^{<\kappa })^{+}=\left(\sup _{\kappa '<\kappa }|Y|^{\kappa }\right)^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22c9a4abff38aafe5470c87b04d914a0dae6b7e)
라고 하자. 그렇다면,
는
-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.
포괄적 순서 아이디얼[편집]
임의의 기수
및
의 포괄적 순서 아이디얼
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한
가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.[1]:211, Lemma VII.6.2
- 만약
라면,
이다. 즉,
는 (
전체에 정의된) 함수이다.
- 만약
라면,
이다. 즉,
는 전사 함수이다.
증명:
임의의
![{\displaystyle y\in Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee1c0ec36a82f33f5e3d7434d5667881b4ec323)
에 대하여,
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
가
치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합
![{\displaystyle D_{y}=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )\colon y\in \operatorname {im} f\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443ea8cada98b468781e9259acba8d9db3257a0b)
는
![{\displaystyle \operatorname {Pfn} (X,Y;\kappa )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffeccc3d938480e9d0176e932693b37aef8c8e8b)
의
공종 집합이다. 따라서
![{\displaystyle f\in G\cap D_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76fc0c2ef92f6b6b0b7079cb949afcdd31543ea)
가 존재하며, 특히
![{\displaystyle f\leq \sup G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9557d13dad5da5e384a6be1175e78c6ca5df5cc)
이자
![{\displaystyle y\in \operatorname {im} f\subseteq \operatorname {im} \sup G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47eba4a63e2acc5a07dbdef14e86b4b5d8bbc440)
이다.
범주론적 성질[편집]
다음과 같은 범주
를 생각하자.
의 대상은 집합이다.
- 두 집합
,
사이의 사상
은 부분 정의 함수
이다.
그렇다면,
는 점을 가진 집합의 범주
와 동치이다.[2]:10
![{\displaystyle \operatorname {Set_{part}} \simeq \operatorname {Set} _{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76a1d2ea56e9456003ff4edd43937ca2cbf54ed)
다음과 같은 범주
를 생각하자.
의 대상은 집합이다.
- 두 집합
,
사이의 사상
은 단사 부분 정의 함수
이다. (즉, 이는
의 부분 집합과
의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)
그렇다면
는 스스로의 반대 범주와 동치이다.[3]:289, Exercise 5.7.3
![{\displaystyle \operatorname {Set_{part,inj}} \simeq \operatorname {Set_{part,inj}} ^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548ced0a39705f79d4a1d2fb08de71dcc98622c9)
강제법적 성질[편집]
(편의상, 강제법에 공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.)
ZFC의 가산 표준 추이적 모형
및
과
이 주어졌다고 하자. 그렇다면
속에서
을 구성할 수 있다. 그렇다면,
에
의 포괄적 순서 아이디얼
를 추가한 강제법 모형
를 정의할 수 있다. 이를 코언 강제법(영어: Cohen forcing)이라고 한다.[1]:§VII.5
구체적으로,
에 대하여
이자
,
이라고 놓자. (
는 절대적이다.) 또한
![{\displaystyle M\models |S|\geq \aleph _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8222e8207bc183667cab2fa126d0df8d17af614f)
라고 하자. 즉,
![{\displaystyle |S|\geq \omega _{2}^{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830087fc81b5a7042c7df7b758b4e50fc3eafd12)
이라고 하자. (여기서
은 순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면
![{\displaystyle M[G]\models \lnot {\mathsf {CH}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173575c44a7d209564af54642d4bdb8045cd0af6)
임을 보일 수 있다[1]:208, §VII.5 (
는 연속체 가설).
증명:
순서 아이디얼 조건에 의하여
이며, 또한
는 포괄성 조건에 따라서 사실
전체에 정의된 함수이다.
다음을 정의하자.
![{\displaystyle H=\left(\sup G\right)^{-1}(1)\subseteq S\times \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5908d5c38f57c7e927013fce55181df2fe76d75)
![{\displaystyle H_{s}=\{n\in \mathbb {N} \colon (s,n)\in H\}\subseteq \mathbb {N} \qquad (s\in S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b7952a96b70d96bf27cc904d5a02b253216376)
그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.
![{\displaystyle H_{s}\not \in M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a854063cf325b1e2ab4bd4740ad4ece0004b55e4)
![{\displaystyle s\neq t\implies H_{s}\neq H_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64aa1aa65c37fdd629d700d35c6c5f6527030f5d)
![{\displaystyle H_{s}\in M[G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f24517532b85f6f26c3fde7a76f051d709e190)
따라서,
는
의
개의 부분 집합들을 이루며, 따라서
![{\displaystyle M[G]\models 2^{\aleph _{0}}\geq |S|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b042e85df7e20fd02ec5e92bff87afca079e97b)
이다.[1]:205, Lemma VII.5.3
이제,
속에서
는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서
의 크기는
과
속에서 같으며, 따라서
![{\displaystyle M[G]\models 2^{\aleph _{0}}\geq |S|>\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa8133fbc094a99f4f6e7d47982f3e9cc94a619)
이다.
외부 링크[편집]