대수기하학에서, 형식적 군 법칙(形式的群法則, 영어: formal group law)은 리 군의 국소적 곱셈 법칙을 형식적 멱급수로 공리화하여 얻은 대수적 구조이다. 구체적으로, 이는 일종의 결합 법칙을 만족시키는 형식적 멱급수이다. 표수 0의 체의 경우 이 개념은 사실상 리 대수와 동치이나, 다른 표수의 경우 이는 추가 정보를 포함한다.
임의의 가환환
가 주어졌다고 하자.
형식적 변수
을 생각하자. 편의상 이들을
![{\displaystyle {\mathsf {x}}=({\mathsf {x}}_{1},\dotsc ,{\mathsf {x}}_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24913c698379794c064644ac240238c9a3e6dc8a)
![{\displaystyle {\mathsf {y}}=({\mathsf {y}}_{1},\dotsc ,{\mathsf {y}}_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92623d1078a2c0321b2b94cde285a7c51f1ee2ca)
와 같이 표기하자.
이에 대한 형식적 멱급수환
![{\displaystyle K[[{\mathsf {x}},{\mathsf {y}}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa037e97a66838c25a02d99760a2dd329ecae6e9)
을 생각하자. 이에 대한 형식적 군 법칙은
개의 형식적 멱급수
![{\displaystyle F=(F_{1},F_{2},\dotsc ,F_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbbc025d82a4d4a293c3193717da18b6cc751d9)
![{\displaystyle F_{1},\dotsc ,F_{n}\in K[[{\mathsf {x}},{\mathsf {y}}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d342d55aaea5d466080fa3a39adc5b5e6dbc491b)
로 구성되며, 다음 조건을 만족시켜야 한다.
(군 법칙의 최소차항)
(형식적 결합 법칙)
형식적 군 법칙
가 다음 조건을 따른다면, 가환 형식적 군 법칙(영어: commutative formal group law)이라고 한다.
![{\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})=F({\mathsf {y}},{\mathsf {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b619f859a4e8b8304bb0941eaaad94e6fdd241)
같은 가환환
를 계수로 하는
차원 형식적 군 법칙
와
차원 형식적 군 법칙
사이의 형식적 군 법칙 준동형(영어: formal group law homomorphism)
은 다음 조건을 만족시키는 다항식
![{\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc ,f_{n}\in K[[{\mathsf {x}}_{1},{\mathsf {x}}_{2},\dotsc ,{\mathsf {x}}_{n}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8f453204eac96f322a8cfc482e5a86af44606c)
이다.
![{\displaystyle G(f({\mathsf {x}}),f({\mathsf {y}}))=f(F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b785119eeff0544bf265baf9ef7bdc71e1a8c48b)
역원을 가지는 형식적 군 법칙 준동형을 형식적 군 법칙의 동형이라고 한다. (이는
일 때에만 존재한다.) 형식적 군 법칙 동형이
![{\displaystyle f({\mathsf {x}})={\mathsf {x}}+O({\mathsf {x}}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11965266cfb647a973281b48d2ebd290d77541c2)
이라면, 이를 순동형(純同形, 영어: strict isomorphism)이라고 한다.
형식적 군 법칙의 정의에는 역원의 존재에 대한 특별한 조건에 없지만, 이는 항상 자동적으로 성립한다. 즉, 임의의 형식적 군 법칙
에 대하여, 항상
![{\displaystyle F({\mathsf {x}},G({\mathsf {x}}))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00af9027ecf5795546f929a53ba87668d5ca0a84)
인
가 존재한다.
만약 가환환
가 유리수체
를 포함한다면,
계수의 임의의
차원 형식적 군 법칙
는 덧셈 형식적 군 법칙와 순동형이다. 즉, 어떤 순동형
에 대하여
![{\displaystyle \log(F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}}))=f({\mathsf {x}})+f({\mathsf {y}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a17351a1b592fb41922f32db15227b8bc2b42c5)
가 된다.
임의의
차원 형식적 군 법칙
![{\displaystyle F_{i}({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}_{i}+{\mathsf {y}}_{i}+\sum _{j,k}f_{i}{}^{jk}{\mathsf {x}}^{j}{\mathsf {y}}^{k}+\sum _{j,k}f'_{i}{}^{jk}{\mathsf {x}}^{j}{\mathsf {x}}^{k}+\sum _{j,k}f''_{i}{}^{jk}{\mathsf {y}}^{j}{\mathsf {y}}^{k}\dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00edda08b14375aed66bd9aeeda6c315ae1bc5ac)
에서,
는
차원 리 대수를 정의한다.
![{\displaystyle [x,y]+O(x^{3},y^{3},xy^{2},yx^{2})=F(x,y)-F(y,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523751f12fa296dd416f501d10040aa31cb3d8dd)
표수 0의 체의 경우, 형식적 군 법칙의 범주는 리 대수의 범주와 동치이다. 그러나 이는 양의 표수의 경우 성립하지 않는다.
덧셈 형식적 군 법칙은 임의의 차원 및 계수에서 정의되는 다음과 같다.
![{\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b89db801d795760cc2b55e6972a59027713dea56)
임의의
에 대하여, 곱셈 군 법칙은 다음과 같은 1차원 군 법칙이다.
![{\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}+u{\mathsf {x}}{\mathsf {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da35979e78c577864ec5b72cb18343896f36a6c)
차원 리 군
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 그 리 대수
의 임의의 기저를 잡고, 리 지수 함수
![{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {lie}}(G)\to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae9756a33a342842bcca72a754710721481a506)
로서
의, 항등원
근방의 국소 좌표계를 정의할 수 있다.
의 곱셈은 매끄러운 함수이므로 이에 대한 테일러 급수를 취할 수 있으며, 이는
차원 실수 계수 형식적 군 법칙을 이룬다.
특수 상대성 이론의 속도 덧셈 공식
![{\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\frac {{\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}}{1+{\mathsf {x}}\cdot {\mathsf {y}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6083ab786cc05e263463207a73cf2b0d85486)
은 형식적 군 법칙을 이룬다.
잘로몬 보흐너(독일어: Salomon Bochner)가 1946년에 도입하였다.[1]