군론에서 프뤼퍼 군(Prüfer群, 영어: Prüfer group)은 분모가 어떤 주어진 소수의 거듭제곱인 유리수들의 법 1 합동류들로 구성된 아벨 군이다. 여러 특수한 성질을 가진다.
소수
에 대하여, 다음 아벨 군들이 서로 동형이며, 이를 프뤼퍼 군
이라고 한다.
- 1의
거듭제곱근들의 곱셈군 ![{\displaystyle \{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbb {Z} ,\,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}\subsetneq \operatorname {U} (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63a6dcc80fa29505577f1b0b29cd072443be2fc)
- 몫군
의 쉴로브
-부분군
진수체 덧셈군의
진 정수환 덧셈군에 대한 몫군 ![{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9a2700714864c195171149920d2e478d6a5068)
- 군의 표시
에 의하여 정의되는 군
- 귀납적 극한
![{\displaystyle \textstyle \varinjlim _{n\to \infty }p^{-n}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7b4477b60ee52ce4e0dbc3df63a81bb3234d14)
프뤼퍼 군의 부분군들은 다음과 같으며, 포함 관계에 따라 전순서 집합을 이룬다.
![{\displaystyle 0\subsetneq \left({1 \over p}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} \subsetneq \left({1 \over p^{2}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} \subsetneq \left({1 \over p^{3}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq \mathbb {Z} (p^{\infty })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13d1f241813f8fec50b78eb8968c1f6a0727b91)
프뤼퍼 군은 부분직접곱 기약군(영어: subdirectly irreducible group)이다. 즉, 진부분군들의 부분직접곱으로 나타낼 수 없다. 사실, 아벨 군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 부분직접곱 기약군이다.
- 소수 크기의 순환군
이거나, 프뤼퍼 군이다.
정수환 위의 가군으로서, 프뤼퍼 군은 아르틴 가군이지만 뇌터 가군이 아니다.
이산 위상을 부여한 프뤼퍼 군
의 폰트랴긴 쌍대군은
진 정수의 덧셈군
이다.
독일의 수학자 하인츠 프뤼퍼(독일어: Heinz Prüfer)가 1923년에 도입하였다.[1]
같이 보기[편집]
- ↑ Prüfer, Heinz (1923). “Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 17 (1): 35-61. doi:10.1007/BF01504333. ISSN 0025-5874.
외부 링크[편집]