라플라스 변환

라플라스 변환(Laplace transform)은 어떠한 함수 $f(t)$에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.

라플라스 변환을 이용하면, 어려운 식들을 쉽게 변환하여 풀 수 있으며, 문제들을 직접적으로 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식은 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.

정의

함수 $f(t)$의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 $F(s)$로 정의된다.

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

이때 $0^{-}$는 $\lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon$의 약자이다. 실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않은 다음의 표기를 사용하기도 한다.

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

성질

선형성

${\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

미분

${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}(f)-f(0)$

${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}(f)-sf(0)-f'(0)$

${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)$

${\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)$

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$

적분

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={\mathcal {L}}\left\{u(t)*f(t)\right\}={1 \over s}F(s)$

s shifting

${\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)$

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}=e^{at}f(t)$

t shifting

${\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)$

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)$

참고: $u(t)$는 층계 함수이다.

합성곱

${\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}$

주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환

${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt$

참조 항목

• 푸리에 변환