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:<math>G^{-1}MG=\operatorname{diag}(C(d_1),C(d_2),\dots,C(d_k))</math> |
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:<math>d_k(x)\mid d_{k-1}(x)\mid\cdots\mid d_1(x)</math> |
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:<math>\deg d_i\ge 1\qquad(\forall i\in\{1,2,\dots,k\})</math> |
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이는 <math>M</math>으로 유도되는 <math>K[x]</math>-[[가군]] |
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2021년 9월 11일 (토) 06:07 판
선형대수학에서, 유리 표준형(有理標準型, 영어: rational canonical form) 또는 프로베니우스 표준형(Frobenius標準型, 영어: Frobenius canonical form)은 임의의 체를 성분으로 하는 정사각 행렬을 그와 닮은, 동반 행렬들의 직합으로 나타내는 행렬 표준형이다.[1][2]
정의
의 동반 행렬(同伴行列, 영어: companion matrix)은 다음과 같은 정사각 행렬이다.
유리 표준형
체 위의 임의의 정사각 행렬 에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 가역 행렬 및 유일한 일계수 다항식 집합 이 존재하며, 를 의 (불변 인자) 유리 표준형(영어: (invariant factors) rational canonical form)이라고 한다.
이는 으로 유도되는 -가군
의 불변 인자 분해
에서, 에 대응하는 -선형 변환 의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.
으뜸 유리 표준형
체 위의 임의의 정사각 행렬 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 및 유일한 기약 일계수 다항식의 양의 거듭제곱의 중복집합 이 존재하며, 를 의 으뜸 유리 표준형(영어: primary rational canonical form) 또는 초등 인자 유리 표준형(영어: elementary divisors rational canonical form)이라고 한다.
이는 -가군
의 으뜸 분해
에서, -선형 변환 의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.
역사와 어원
페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다.[3][4] ‘유리’(영어: rational)라는 표현은 유리 표준형이 임의의 체를 성분으로 하는 행렬에 대하여 성립하기 때문에 유리 표준형을 얻기 위해 체를 확대할 필요가 없다는 사실을 일컫는다.
참고 문헌
- ↑ Hungerford, Thomas W. (1974). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 73. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6101-8. ISBN 978-0-387-90518-1. ISSN 0072-5285. MR 0600654. Zbl 0442.00002.
- ↑ Roman, Steven (2008). 《Advanced Linear Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 135 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-72831-5. ISBN 978-0-387-72828-5. ISSN 0072-5285. LCCN 2007934001. MR 2344656. Zbl 1132.15002.
- ↑ Frobenius, G. (1879). “Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 86: 146–208. ISSN 1435-5345. MR 1579769.
- ↑ Hawkins, Thomas (1977). “Weierstrass and the Theory of Matrices”. 《Archive for History of Exact Sciences》 (영어) 17 (2): 119–163. doi:10.1007/BF02464978. ISSN 0003-9519. JSTOR 41133484. MR 528299.
외부 링크
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Rational canonical form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.