순환군

군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소가 생성하는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 고정된 하나의 원소의 거듭제곱(가법군의 경우 정수 배)이다.

정의

군의 원소 $g\in G$가 생성하는 순환군 $\langle g\rangle$은 다음과 같다.

$\langle g\rangle =\{g^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}\leq G$

순환군을 생성하는 원소를 생성 원소(生成元素, 영어: generating element) 또는 생성원(生成元, 영어: generator)이라고 한다. 유한 개의 원소의 순환군을 유한 순환군, 무한 개의 원소의 순환군을 무한 순환군이라고 한다.

군의 원소 $g\in G$의 위수(位數, 영어: order)는 $g$가 생성하는 순환 부분군의 크기이다. 항등원이 되는 가장 작은 거듭제곱 지수와 같다. 즉,

$\operatorname {ord} g=|\langle g\rangle |=\min\{n\in \mathbb {N} \sqcup \{\aleph _{0}\}\colon g^{n}=1\}$

분류

순환군은 정수 군 또는 그 잉여류 군과 동형이다. 무한 순환군은 정수 군과 동형이며, 유한 순환군은 정수 잉여류 군과 동형이다.

$\langle g\rangle \cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &\operatorname {ord} g=\aleph _{0}\\\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} &\operatorname {ord} g=n<\aleph _{0}\end{cases}}$

성질

순환군은 항상 아벨 군이다.

원소 개수가 소수인 군은 유일하게 순환군이자 단순군이다.

순환군 $\langle g\rangle$의 부분군은 항상 순환군이다. 순환군의 부분군의 집합은 정확히 다음과 같다.

${\begin{cases}\{\langle g^{n}\rangle \colon n\in \mathbb {N} \}&\operatorname {ord} g=\aleph _{0}\\\{\langle g^{n}\rangle \colon n\mid \operatorname {ord} g\}&\operatorname {ord} g\in \mathbb {N} \end{cases}}$

이에 따라, 무한 순환군의 부분군은 자연수와 일대일 대응하며, 유한 순환군의 부분군은 위수의 약수와 일대일 대응한다.

순환군 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 및 $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $\gcd\{\operatorname {ord} g,\operatorname {ord} h\}=1$
• $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} =\mathbb {Z} /nm\mathbb {Z}$
• $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} =\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$인 $k\in \mathbb {N}$이 존재한다.

외부 링크

• “Cyclic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cyclic group”. 《nLab》 (영어).