합곱

대수적 위상수학에서, 컵곱(영어: cup product)은 차수가 p및 q인 쌍대사슬을 차수가 p + q인 쌍대사슬로 이어붙이는 방법이다. 이는 등급환 안의 코호몰로지 공간 X를 코호몰로지 환이라고 하는 H^∗(X)로 바꾸는, 코호몰로지에서 연관된(또한 분배된) 등급 가환 곱 연산이다.

정의

특이 코호몰로지에서, 컵곱은 위상 공간 X의 등급환적 코호몰로지 환 H^∗(X) 곱을 만들어주는 연산이다.

쌍대사슬에서 곱 연산은 다음과 같이 진행된다. 만약 c^p이 p-쌍대사슬이고 d^q이 q-쌍대사슬이라면,

$(c^{p}\smile d^{q})(\sigma )=c^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})$

여기서 σ 는 특이 (p + q) -단체이고 $\iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}$ 는 정점이 $\{0,...,p+q\}$에 있는 $(p+q)$-단체 안의 S에 의한 단체 다양화 호몰로지 매장이다.

약식으로, 각각 $\sigma \circ \iota _{0,1,...,p}$는 σ의 p번째 앞면이고, $\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}$는 σ의 q번째 뒷면이다.

쌍대사슬 c^p와 d^q의 컵곱의 사슬 복합체는

$\delta (c^{p}\smile d^{q})=\delta {c^{p}}\smile d^{q}+(-1)^{p}(c^{p}\smile \delta {d^{q}}).$

로 주어진다.

두 쌍대사슬의 컵곱은 다시 쌍대사슬이 되며, 쌍대사슬의 사슬 복합체의 컵곱은 다시 사슬 복합체가 된다. 컵곱 연산은 다음과 같은 코호몰로지 선형 연산을 유도할 수 있다.

$H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).$

성질

코호몰로지에서 컵곱 연산은 다음과 같은 성질을 만족한다.

$\alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})$

그러므로, 다음과 같은 곱은 등급 가환이라고 할 수 있다.

컵곱은 함자적이므로, 만약

$f\colon X\to Y$

이 연속 함수이고,

$f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)$

이 코호몰로지에서 준동형사상으로 유도된다면,

$f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),$

는 H ^*(Y)의 α, β 모든 코호몰로지류에서 성립한다. 다른 말로, f ^*는 등급환의 준동형사상이라고 할 수 있다.

역사

컵곱은 1935년~1938년 제임스 워델 알렉산더 · 에두아르트 체흐 · 해슬러 휘트니의 논문에서 처음 쓰였으며, 이후 1944년 사무엘 에일렌베르크가 일반화시켜서 사용하기 시작했다.

참고 문헌

• 조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5. 
• Munkres, James R. (2000). 《Topology》 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Bredon, Glen E. (1993). 《Topology and geometry》. Springer. ISBN 0-387-97926-3. 
• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 

같이 보기

• 특이 호몰로지
• 호몰로지
• 모자곱
• 매시 곱