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==단위원의 유리매개화== |
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==단위원의 유리매개화== |
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단위원 위의 임의의 한 점 <math>P</math>를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 <math>t</math> (<math>t</math> : 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 <math>(-1,0)</math>을 지나는 직선<math>l</math>을 생각한다. |
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단위원 위의 임의의 한 점 <math>P</math>를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 <math>t</math>(<math>t</math>: 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 <math>(-1,0)</math>을 지나는 직선 <math>l</math>을 생각한다. 이 경우, 직선 <math>l</math>은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 <math>(-1,0)</math>, 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 <math>P</math>가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 <math>l</math>의 방정식을 연립하여 점 <math>P</math>의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 <math>t</math>에 대해 원 위의 모든 점(단, <math>(-1,0)</math>은 제외)을 유리매개화 할 수 있다. |
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이 경우, 직선<math>l</math>은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 <math>(-1,0)</math>, 다른 하나는 유리매개화를 하려하고 하는 임의의 점 <math>P</math>가 된다. |
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따라서 단위원의 원의 방정식과 직선<math>l</math>의 직선의 방정식을 연립하여 점 <math>P</math>의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 <math>t</math>에 대해 원 위의 모든 점(단, <math>(-1,0)</math> 제외)을 유리매개화 할 수 있다. |
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:단위원의 원의 방정식: <math> x^2 + y ^2 = 1.</math> |
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단위원의 원의 방정식 : <math>x^2 + y^2 = 1</math>
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:직선ℓ의 직선의 방정식: <math>y=tx+t.</math> |
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직선ℓ의 직선의 방정식 : <math>y= tx+t</math> |
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직선<math>l</math>의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 <math>y</math>를 소거하면 <math>x</math>에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다. |
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직선<math>l</math>의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 <math>y</math>를 소거하면 <math>x</math>에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다. |
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:<math>x^2+ (tx+t )^2 =1 .</math> |
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:<math>x^2+(tx+t)^2=1</math> |
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:<math>\Rightarrow x^2+t^2x^2+2t^2x+t^2-1=0.</math> |
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:<math> \Rightarrow (1+t^2)x^2+2t^2x+(t^2-1)=0 .</math> |
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:<math>x^2+ t^2x^2+2t^2x+t^2 -1 =0</math> |
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:<math>(1+t^2)x^2+2t^2x+(t^2-1)=0</math> |
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얻어낸 <math>x</math>의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표가 된다. |
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얻어낸 <math>x</math>의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표가 된다. |
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:<math>x=\frac{-t^2 \pm \sqrt{t^4-(t^2-1)(t^2+1)}}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^4-1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-t^4+1}}{(1+t^2)}=\frac{t^2 \pm1}{1+t^2} .</math> |
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:<math>\therefore x=-1 </math> 또는 <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2} .</math> |
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따라서, 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표는 <math>x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>이다. <math>x</math>좌표를 직선 <math>l</math>의 방정식에 대입하여 <math>y</math>좌표도 찾아, 점 <math>P</math>의 좌표를 완성시키면 다음과 같다. |
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:단위원과 직선<math>l</math>의 교점: <math>P =\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2} \right)</math> . |
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이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단, <math>(-1,0)</math>제외, <math>t</math>가 <math> \pm\infty</math>로 발산하는 경우 점 <math>P</math>는 <math>(-1,0)</math>로 수렴한다) 를 임의의 실수 <math>t</math>에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화' 라고 한다. |
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:<math>x=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^2-1)(t^2+1) \ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^4-1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-t^4+1 )\ }}{(1+t^2)}=\frac{t^2 \pm1}{1+t^2}</math> |
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:<math>\therefore x=-1 </math> <math> or</math> <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> |
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따라서, 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표는 <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>이다. <math>x</math>좌표를 직선 <math>l</math>의 방정식에 대입하여 <math>y</math>좌표도 찾아, 점 <math>P</math>의 좌표를 완성시키면 다음과 같다. |
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단위원과 직선<math>l</math>의 교점 : 점 <math>P </math><math>(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})</math> |
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이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표를(단, <math>(-1,0)</math>제외, <math>t</math>가 <math>\infty</math>로 발산하는 경우 점<math>P</math>는 <math>(-1,0)</math>로 수렴한다) 임의의 실수<math>t</math>에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화' 라 한다. |
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== 복소평면의 단위원 == |
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== 복소평면의 단위원 == |
환론에서, 곱셈에 대한
항등원을 '단위원'(單位元, unity)이라고 부르기도 합니다.
단위원(單位圓)은 반경이 1인 원이다. 특별히 해석기하학에서는 원점 을 중심으로 하는 반경이 1인 원을 말한다. 즉, 원점으로부터 거리가 1 인 점의 자취이다.
많은 경우 단위원은 으로 표시한다. 이것은 일반적인 차원 구면(sphere) 개념 중 의 경우를 뜻한다.
단위원의 삼각매개화
단위원 위의 임의의 점 를 극좌표를 이용하여 나타내는 경우, (: 점 와 원점을 이은 반직선 와 축이 이루는 각, ≤ ≤ )으로 나타낼 수 있다. 또한 이 점을 직교좌표를 이용하여 표현하는 경우, 이 점의 좌표는 로 나타낼 수 있다.
-
점
에 의해 만들어지는 직각삼각형
점 에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해, 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면 으로 나타낼 수 있다.
단위원의 경우, 원점으로부터의 거리 이므로 로 정리할 수 있다.
이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리()'와 '축의 양의 방향과 이루는 각도()'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라 한다.
단위원의 유리매개화
단위원 위의 임의의 한 점 를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 (: 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 을 지나는 직선 을 생각한다. 이 경우, 직선 은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 , 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 의 방정식을 연립하여 점 의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 에 대해 원 위의 모든 점(단, 은 제외)을 유리매개화 할 수 있다.
- 단위원의 원의 방정식:
- 직선ℓ의 직선의 방정식:
직선의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 를 소거하면 에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다.
얻어낸 의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 의 좌표가 된다.
- 또는
따라서, 점 의 좌표는 이다. 좌표를 직선 의 방정식에 대입하여 좌표도 찾아, 점 의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.
- 단위원과 직선의 교점: .
이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단, 제외, 가 로 발산하는 경우 점 는 로 수렴한다)를 임의의 실수 에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다.
복소평면의 단위원
복소평면상의 단위원은 절대값이 1 인 복소수의 자취
- {z ∈ C | |z| = 1} = {exp(iθ) | 0 ≤ θ < 2π}
가 된다 (exp 는 자연대수의 밑인 e 을 밑으로 하는 복소변수 지수함수). 이 집합은 복소수의 통상의 곱에 관해서 닫혀 있고 군(群, group)을 이루어 원주군 (circle group)으로 불리기도 한다. 이것은 또 1 차원의 유니타리 군으로 불리는리 군이며 U(1)라고 표시한다.