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2013년 6월 27일 (목) 20:32 판

단조함수는 함수의 진행 방향이 항상 일정한 함수를 의미한다. 항상 증가하는 함수의 경우는 단조증가, 항상 감소하는 함수는 단조감소라고 부른다.

수학적으로 정의하면, 단조증가하는 함수는 다음의 조건을 만족한다.

f:X\to Y

인 함수

f

에 대해,

x_{1},x_{2}\in X,x_{1}\leq x_{2}

인 모든

x_{1},x_{2}

에 대해 항상

f(x_{1})\leq f(x_{2})

가 성립한다.

단조감소의 경우에는 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ 가 아니라 $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ 가 성립한다.

또한, 강한 단조함수는 위의 정의에서 등호 조건이 빠진 것으로, 예를 들어 강한 단조증가는 다음과 같이 정의된다.

f:X\to Y

인 함수

f

에 대해,

x_{1},x_{2}\in X,x_{1}<x_{2}

인 모든

x_{1},x_{2}

에 대해 항상

f(x_{1})<f(x_{2})

가 성립한다.

일반적인 단조함수는 함수값이 증가하거나 감소하지 않는 경우( $x_{1}<x_{2}$ , $f(x_{1})=f(x_{2})$ )가 허용되지만, 강한 단조함수는 항상 증가하거나 항상 감소한다.

미분과 단조성

미분은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다. 일반적으로, 단조성에 관한 다음과 같은 필요충분조건을 얻을 수 있다.

어떤 구간에서 미분가능한 함수 f가 단조증가(또는 감소)일 필요충분조건은 f'≥0(또는 f'≤0)인 것이다.^[1]

또한, 강단조성에 관해서 다음과 같은 충분조건이 성립한다.

어떤 구간에서 미분가능한 함수 f가 강증가(또는 감소)일 충분조건은 f'>0(또는 f'<0)인 것이다.^[1]

그러나 이 경우 역은 성립하지 않는다. 예로, f(x) = x³은 강증가 함수이지만, x = 0에서 그 미분계수는 0이기 때문이다. 한편, 연속함수가 아니거나 미분가능하지 않은 단조 함수도 있는데, 이 경우 그러한 성질을 갖는 곳은 다음 두 정리로 상당히 제한된다.

어떤 구간에서 단조함수의 불연속점은 많아야 가산 개 존재한다.^[2]
(르베그 미분가능성 정리) 어떤 구간에서 단조 함수의 미분불가능점은 많아야 영측도이다.

주석

↑ ^가 ^나 Robert G. Bartle; Donald R. Sherbert (2006). 강수철 역, 편집. 《실해석학개론》. 범한서적. 220~221쪽. ISBN 897129177X.
↑ Walter Rudin (1976). 《Principles of mathematical analysis》 3판. New York: McGraw-Hill. 96쪽. ISBN 007054235X. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[실해석학개론-1] 가 ^나 Robert G. Bartle; Donald R. Sherbert (2006). 강수철 역, 편집. 《실해석학개론》. 범한서적. 220~221쪽. ISBN 897129177X.

[2] Walter Rudin (1976). 《Principles of mathematical analysis》 3판. New York: McGraw-Hill. 96쪽. ISBN 007054235X. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[1]

[2]

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 [[그림:Monotonicity example1.png|thumb|단조 증가. 강한 단조 증가는 아니다.]]
-'''단조 함수'''는 [[함수]]의 진행 방향이 항상 일정한 함수를 의미한다. 항상 증가하는 함수의 경우는 '''단조 증가''', 항상 감소하는 함수는 '''단조 감소'''라고 부른다.
+'''단조함수'''는 [[함수]]의 진행 방향이 항상 일정한 함수를 의미한다. 항상 증가하는 함수의 경우는 '''단조증가''', 항상 감소하는 함수는 '''단조감소'''라고 부른다.
-수학적으로 정의하면, 단조 증가하는 함수는 다음의 조건을 만족한다.
+수학적으로 정의하면, 단조증가하는 함수는 다음의 조건을 만족한다.
 :<math>f: X \to Y</math>인 함수 <math>f</math>에 대해, <math>x_1, x_2 \in X, x_1 \leq x_2</math>인 모든 <math>x_1, x_2</math>에 대해 항상 <math>f(x_1) \leq f(x_2)</math>가 성립한다.
-단조 감소의 경우에는 <math>f(x_1) \leq f(x_2)</math>가 아니라 <math>f(x_1) \geq f(x_2)</math>가 성립한다.
+단조감소의 경우에는 <math>f(x_1) \leq f(x_2)</math>가 아니라 <math>f(x_1) \geq f(x_2)</math>가 성립한다.
-또한, '''강한 단조 함수'''는 위의 정의에서 등호 조건이 빠진 것으로, 예를 들어 강한 단조 증가는 다음과 같이 정의된다.
+또한, '''강한 단조함수'''는 위의 정의에서 등호 조건이 빠진 것으로, 예를 들어 강한 단조증가는 다음과 같이 정의된다.
 :<math>f: X \to Y</math>인 함수 <math>f</math>에 대해, <math>x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2</math>인 모든 <math>x_1, x_2</math>에 대해 항상 <math>f(x_1) < f(x_2)</math>가 성립한다.
-일반적인 단조 함수는 함수값이 증가하거나 감소하지 않는 경우(<math>x_1<x_2</math>, <math>f(x_1)=f(x_2)</math>)가 허용되지만, 강한 단조 함수는 항상 증가하거나 항상 감소한다.
+일반적인 단조함수는 함수값이 증가하거나 감소하지 않는 경우(<math>x_1<x_2</math>, <math>f(x_1)=f(x_2)</math>)가 허용되지만, 강한 단조함수는 항상 증가하거나 항상 감소한다.
 == 미분과 단조성 ==
 [[미분]]은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다. 일반적으로, 단조성에 관한 다음과 같은 [[필요충분조건]]을 얻을 수 있다.
-* 어떤 [[구간]]에서 미분가능한 함수 f가 단조 증가(또는 감소)일 필요충분조건은 f'≥0(또는 f'≤0)인 것이다.<ref name="실해석학개론">{{서적 인용|공저자=Donald R. Sherbert|저자=Robert G. Bartle|제목=실해석학개론|연도=2006|출판사=범한서적|편집자=강수철 역|확인날짜=2012-02-01|isbn=897129177X|쪽=220~221}}</ref>
+* 어떤 [[구간]]에서 미분가능한 함수 f가 단조증가(또는 감소)일 필요충분조건은 f'≥0(또는 f'≤0)인 것이다.<ref name="실해석학개론">{{서적 인용|공저자=Donald R. Sherbert|저자=Robert G. Bartle|제목=실해석학개론|연도=2006|출판사=범한서적|편집자=강수철 역|확인날짜=2012-02-01|isbn=897129177X|쪽=220~221}}</ref>
 또한, 강단조성에 관해서 다음과 같은 충분조건이 성립한다.
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 그러나 이 경우 역은 성립하지 않는다. 예로, f(x) = x³은 강증가 함수이지만, x = 0에서 그 미분계수는 0이기 때문이다. 한편, [[연속함수]]가 아니거나 미분가능하지 않은 단조 함수도 있는데, 이 경우 그러한 성질을 갖는 곳은 다음 두 정리로 상당히 제한된다.
-* 어떤 구간에서 단조 함수의 불연속점은 많아야 [[가산집합|가산]] 개 존재한다.<ref>{{서적 인용|저자=Walter Rudin|제목=Principles of mathematical analysis|연도=1976|출판사=McGraw-Hill|위치=New York|판=3판|확인날짜=2012-02-01|isbn=007054235X|쪽=96}}</ref>
+* 어떤 구간에서 단조함수의 불연속점은 많아야 [[가산집합|가산]] 개 존재한다.<ref>{{서적 인용|저자=Walter Rudin|제목=Principles of mathematical analysis|연도=1976|출판사=McGraw-Hill|위치=New York|판=3판|확인날짜=2012-02-01|isbn=007054235X|쪽=96}}</ref>
 * ([[르베그 미분가능성 정리]]) 어떤 구간에서 단조 함수의 미분불가능점은 많아야 [[영측도]]이다.