동차좌표

사영기하학에서 동차좌표(同次座標, 영어: homogeneous coordinates)는 $n$차원 사영 공간을 $n+1$개의 좌표로 나타내는 좌표계다.

정의

$n$차원 사영 공간은 다음과 같이 정의할 수 있다. $X$가 실수, 복소수, 또는 사원수의 대수라고 하고, $(n+1)$개의 수의 순서쌍의 집합 $X^{n+1}$에 다음과 같은 동치관계를 주자.

$(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})$ ($0\neq \lambda \in X$)

그렇다면 $n$차원 사영 공간 $XP^{n}$을 몫공간으로 정의할 수 있다.

$XP^{n}\cong (X^{n+1}\setminus 0)/{\sim }$

이 경우, $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})$을 $XP^{n}$의 동차좌표라고 한다.

성질

동차좌표는 유일하지 않다. 즉, $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})$과 $(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})$은 사영 공간에서 같은 점을 나타낸다. 다음과 같이

$t_{i}=x_{n}/x_{0}$ ($1\leq i\leq n$)

을 정의하여 $n$차원 사영 공간을 $n$개의 좌표로 나타내려 할 수 있지만, 이 경우 $x_{0}=0$인 점들을 나타내지 못한다.

동차좌표는 유일하지 않으므로, 사영 공간 위에 $f(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=0$과 같은 곡면을 정의하려면, $f$는 같은 점을 나타내는 동차좌표들에 대하여 다음을 만족하여야 한다.

• $f(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=0$이라면, 모든 $\lambda \neq 0$에 대하여 $f(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=0$
• $f(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})\neq 0$이라면, 모든 $\lambda \neq 0$에 대하여 $f(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})\neq 0$

만약 $f$가 다항함수라면, $f$는 동차다항식이어야 한다. 즉, 예를 들어

$f_{1}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}x_{1}-x_{0}x_{1}^{2}+2x_{1}^{3}$

는 동차다항식이므로 사영 공간 위에 곡면 $f_{1}=0$을 정의할 수 있지만,

$f_{2}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{2}+3x_{0}^{2}x_{1}-x_{0}x_{1}^{2}+2x_{1}^{3}$

는 동차다항식이 아니므로 곡면 $f_{2}=0$을 정의할 수 없다.

역사

아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1827년에 도입하였다.