대수적 위상수학에서 코호몰로지 연산(cohomology演算, 영어: cohomology operation)은 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환, 또는 이를 나타내는 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류이다.
자연수
및 아벨 군
에 대하여,
형 1차 코호몰로지 연산(영어: primary cohomology operation of type
)은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류
![{\displaystyle A\colon K(G,m)\to K(H,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b64e43a9e88b5fe5be9f894497dd8bcb6cbef46)
이다.
형 1차 코호몰로지 연산들의 집합은 에일렌베르크-매클레인 공간의 코호몰로지
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}\left(K(G,m);H\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e524ffdfdb14a4dce11c95da245a9a001abaf6)
를 이룬다.
형 1차 코호몰로지 연산
는 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환
![{\displaystyle A_{*}\colon \operatorname {H} ^{m}(-;G)\Rightarrow \operatorname {H} ^{n}(-;H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddea8b806fbd9ece8646f695add17629cdf3181)
을 유도한다.
에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 세르 올뭉치를 갖는다.
![{\displaystyle K(H,n-1)\simeq \Omega K(H,n)\hookrightarrow {\mathcal {P}}K(H,n)\twoheadrightarrow K(H,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bee91ecddb35f784ec2048e0c437aac32085829)
여기서
는 고리 공간,
는 밑점에서 시작하는 경로 공간을 뜻한다. 임의의 1차 코호몰로지 연산
에 대하여, 올뭉치의 당김
![{\displaystyle K(H,n-1){\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n){\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}K(G,m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3582969761fc1613d1ccd5654a220ce5133581a0)
을 정의할 수 있다.
위의
형 2차 코호몰로지 연산은
위의 코호몰로지류
![{\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{n'}(\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n),n')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649d1a93e60fd959320cd2295c15e22efb268523)
이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}K(H,n-1)&{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}&A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)&{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}&K(G,m)\\&&\downarrow \scriptstyle B\\&&K(H',n')\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53989d8bc41e3e0bde09d6865cd2600c29c0e3b)
그렇다면,
![{\displaystyle B\circ \iota \colon K(H,n-1)\to A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)\to K(H',n')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0af9b76ea4de1f64afbfeec8c4b55f5218262af)
를 사용하여
![{\displaystyle (B\circ \iota )_{*}\colon \operatorname {H} ^{n-1}(X;H)\to \operatorname {H} ^{n'}(X;H')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e3de85c1b09727e33a11a4cb97b209687e8e3e)
를 정의할 수 있다.
2차 코호몰로지 연산
는 코호몰로지류 위의 함수
![{\displaystyle B_{*}\colon (\ker A_{*}\subseteq \operatorname {H} ^{m}(X,G))\to {\frac {\operatorname {H} ^{n'}(X;H')}{(B\circ \iota )_{*}\operatorname {H} ^{n-1}(X;H)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce10924a6dcf7476e7cd6338573ec338cf74338)
를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류
![{\displaystyle \alpha \colon X\to K(G,m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6305733b8c69012668110f711bb5d2960abd0ada)
가 주어졌을 때,
![{\displaystyle B_{*}(\alpha )=B\circ \pi ^{-1}\circ a\colon X\to \operatorname {H} ^{n'}(X;H')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4bd079510c1d1e894d83b23b904cf943c83849a)
이다. 여기서 사용한 역함수
는 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 하지만,
는
위에서 항상 하나 이상의 값을 갖는다.
는 일반적으로 여러 개의 값을 가지지만, 가능한 값들의 차는 모두
에 속한다.
보다 일반적으로,
차 코모홀로지 연산에 대응하는
차 코호몰로지 연산의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 1차 코호몰로지 연산
에 대한 2차 코호몰로지 연산
이 주어졌다고 할 때, 그 위의 3차 코호몰로지 연산은 호모토피류
이다. 즉, 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}K(G_{1},n_{1}-1)&{\stackrel {\iota _{1}}{\hookrightarrow }}&A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})&{\stackrel {\pi _{1}}{\twoheadrightarrow }}&K(G_{0},n_{0})\\&&\downarrow \scriptstyle A_{2}\\&&K(G_{2},n_{2})\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b15903edb3bfc7810a466dd4a1ce04537410cd)
![{\displaystyle {\begin{matrix}K(G_{2},n_{2}-1)&{\stackrel {\iota _{2}}{\hookrightarrow }}&A_{2}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{2},n_{2})&{\stackrel {\pi _{2}}{\twoheadrightarrow }}&A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})\\&&\downarrow \scriptstyle A_{3}\\&&K(G_{3},n_{3})\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e417ed158e59f6cafa68dd4dc4e96bafb8e82e0)
이는 연산
![{\displaystyle A_{3}^{*}\colon \left(\ker A_{2}^{*}\subseteq \operatorname {H} ^{n_{0}}(-;G_{0})\right)\to {\frac {\operatorname {H} ^{n_{3}}(-;G_{3})}{(A_{3}\circ \iota _{2})^{*}\operatorname {H} ^{n_{2}-1}(-;G_{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4246b34922068f753bd9fbc6d6a642ee03fb88d4)
을 정의한다.
특이 코호몰로지에 대하여 정의되는 코호몰로지 연산은 다음을 들 수 있다.
- 합곱
. 이는 불안정 연산이다.
- 스틴로드 제곱
![{\displaystyle \operatorname {Sq} ^{i}\colon K(\mathbb {Z} /2,n)\to K(\mathbb {Z} /2,n+i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e69ca59fde84853707dfd3a158d6cac3c60fc7)
- 스틴로드 축소 제곱
,
소수
- 폰트랴긴 제곱
![{\displaystyle K(\mathbb {Z} /p^{r},2n)\to K(\mathbb {Z} /p^{r+1},2pn)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1bb45e9530843e4bb9c70999eeaee7a6d11f615)
- 아벨 군의 짧은 완전열
에 대하여, 복시테인 준동형 ![{\displaystyle K(H,n)\to K(N,n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecbc0d236638eca8d0a9c1f7a22da0470b7bb82b)
- 포스트니코프 제곱
- 매시 곱. 이는 2차 코호몰로지 연산이다.
- Mosher, Robert E.; Tangora, Martin C. (1968). 《Cohomology operations and applications in homotopy theory》 (영어). Harper & Row. MR 0226634.
- Steenrod, N. E. (1962). 《Cohomology operations》. Annals of Mathematics Studies (영어) 50. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07924-0. MR 0145525.
- Baues, Hans-Joachim (2006). 《The algebra of secondary cohomology operations》. Progress in Mathematics (영어) 247. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-7448-8. MR 2220189.
- Harper, John R. (2002). 《Secondary cohomology operations》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 49. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3198-4. MR 1913285.