복소해석학에서 코시 적분 공식(-積分公式, 영어: Cauchy's integral formula)은 정칙 함수를 경곗값에 대한 경로 적분으로 나타내는 공식이다.
유계 연결 열린집합
의 경계
가 유한 개의 조각마다
곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수
가
에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면, 임의의
에 대하여, 다음이 성립한다.[1]:87, §3.3, 정리1
![{\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6f9dd657719e74ca8e2a6c359712f3242ff629)
우변의 적분을 코시 적분(-積分, 영어: Cauchy integral)이라고 부른다.
고계 도함수[편집]
이는
에 코시 변환을 가하여 얻는 함수이므로, 임의의 음이 아닌 정수
및
에 대하여,
![{\displaystyle f^{(n)}(z_{0})={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951eb063c0702e296eb88b51d2a79d341caeedb9)
이다.
코시 부등식[편집]
이에 따라, 임의의 음이 아닌 정수
및
및
에 대하여,
![{\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z|=r}|f(z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24089b05c767c5f536454d4c8dc128439141d554)
이다. 이를 코시 부등식이라고 한다.
임의의
를 취하자. 그렇다면, 항등식
![{\displaystyle \int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {\mathrm {d} z}{z-z_{0}}}=2\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b2120f3d4ad135b89c0099a87cff9b9b3338e5)
![{\displaystyle \int _{|z-z_{0}|=r}\mathrm {d} z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2018bc552d3c4fe1c3f6eeee1ff45c50c3ef8c87)
과 코시 적분 정리에 의하여,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial D}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z-2\pi if(z_{0})&=\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z-2\pi if(z_{0})\\&=\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z-\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z-\int _{|z-z_{0}|=r}f'(z_{0})\mathrm {d} z\\&=\int _{|z-z_{0}|=r}\left({\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})\right)\mathrm {d} z\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef5433ae542ab788edc67ef47e23c9e0ee7456c)
이며, 따라서
![{\displaystyle \left|\int _{\partial D}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z-2\pi if(z_{0})\right|\leq \lim _{r\to 0^{+}}\left(\max _{|z-z_{0}|=r}\left|{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})\right|\int _{|z-z_{0}|=r}|\mathrm {d} z|\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf655a4c206ab36690216238c094b4f12ebf7b34)
이다.
적분
![{\displaystyle \int _{|z|=2}{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88dfe3f421c65f42552bb8083c852257e1109a0d)
를 생각하자. 함수
![{\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9ce1abf38492644e50fac02b40107d3da169d4)
는
![{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z|<2,\;|z-i|,|z+i|>1/2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd254d1fc76c8f12667079e491c6898141f8af46)
의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 정리에 의하여
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{|z|=2}{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+1}}&=\int _{|z-i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+1}}+\int _{|z+i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+1}}\\&=\int _{|z-i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{(z+i)(z-i)}}+\int _{|z+i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{(z+i)(z-i)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6586788531f33ccb8042efb939a4d9235c01b4f)
이다. 첫째 항에서 함수
![{\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z+i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aed1c3c0fa57e83b6c1e4c81d7ee7f446558c28)
는
![{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z-i|<1/2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9a4bc931c99ebe8de6e4af8cc37ee827d70be5)
의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여
![{\displaystyle \int _{|z-i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{(z+i)(z-i)}}={\frac {2\pi i}{z+i}}{\bigg |}_{z=i}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc25061b795a65a38ad5afb297037dc5c366c43)
이며, 마찬가지로 둘째 항에서 함수
![{\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z-i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f258e1e15a9cd1850c6cb3c7fa9cd7e423b6c775)
는
![{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z+i|<1/2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c93613ebfa9ce385bf33af1548bf920bb971cc)
의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여
![{\displaystyle \int _{|z+i|=1/2}{\frac {\mathrm {d} z}{(z+i)(z-i)}}={\frac {2\pi i}{z-i}}{\bigg |}_{z=-i}=-\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5556b2ac7f3e664b427752d69f0a534c66c0448)
이다. 따라서,
![{\displaystyle \int _{|z|=2}{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+1}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1008e8dfe2c3165a5932a9442e4257072c9ce86)
이다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]