![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/23px-Disambig_grey.svg.png)
이 문서는 정칙 함수가 만족시키는 부등식에 관한 것입니다. 내적 공간에서 성립하는 부등식에 대해서는
코시-슈바르츠 부등식 문서를 참고하십시오.
복소해석학에서 코시 부등식(-不等式, 영어: Cauchy's inequality) 또는 코시 추정(-推定, 영어: Cauchy's estimate)은 정칙 함수의 테일러 급수 계수의 상계를 제시하는 부등식이다.
연결 열린집합
에 정의된 정칙 함수
가 주어졌다고 하자. 코시 부등식에 따르면, 임의의 음이 아닌 정수
및
및
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9ecbaab1ff7cfbc4b7835e58d6822fe1eb6df0)
여기서
![{\displaystyle d(z_{0},\partial D)=\inf _{z\in \partial D}|z-z_{0}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2d94e414f41d7d6e576f720e8ee7bba876cb62)
이다.
코시 부등식은 코시 적분 공식으로부터 다음과 같이 간단히 유도된다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}|f^{(n)}(z_{0})|&=\left|{\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\mathrm {d} z\right|\\&\leq {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {|f(z)|}{|z-z_{0}|^{n+1}}}\left|\mathrm {d} z\right|\\&\leq {\frac {n!}{2\pi r^{n+1}}}\cdot \sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\cdot \int _{|z-z_{0}|=r}|\mathrm {d} z|\\&={\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44f32c93c76d962b7f02b40e2bb484beaa1bee1)
따름정리[편집]
콤팩트 집합 위의 부등식[편집]
연결 열린집합
에 정의된 정칙 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수
및 콤팩트 집합
및
에 대하여, 다음이 성립한다.[1]:102, §3.5, 정리2
![{\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{d(K,\partial D)^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d9dd4c7626f26c8827a8fce2ee6d8c9d4694c6)
여기서
![{\displaystyle d(K,\partial D)=\inf _{z\in K,\;z'\in \partial D}|z-z'|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76bab8baa6e13f03b941cf8bfc29f7712068675)
이다.
이는 코시 부등식에 의하여, 임의의
에 대하여
![{\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a24a12e9027fb29224429a998d80c0bc7ba5dc)
이므로,
![{\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq \lim _{r\to d(K,\partial D)^{-}}{\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|={\frac {n!}{d(K,\partial D)^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba71277c4a516579a6435784913cca9ca2893f8)
이기 때문이다.
콤팩트 수렴 정칙 함수열의 성질[편집]
연결 열린 집합
에 정의된 정칙 함수열
가 함수
로 콤팩트 수렴한다고 하자. (이 경우
는 정칙 함수이다.) 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수
에 대하여,
역시
로 콤팩트 수렴한다.
임의의 콤팩트 집합
를 취하자. 그렇다면,
![{\displaystyle {\tilde {K}}=\{z\in D\colon d(z,K)\leq d(K,\partial D)/2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf1f6db08738a28334375fa737423564e7fb452)
역시 콤팩트 집합이므로,
은
에서
로 균등 수렴한다. 또한, 코시 부등식에 의하여, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle |f_{n}^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{d(K,\partial {\tilde {K}})^{k}}}\sup _{z\in {\tilde {K}}}|f_{n}(z)-f(z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2082b5e3e356d6447ab8753a5396f69df375e3d7)
이다. 따라서,
는
에서
로 균등 수렴한다.
리우빌 정리[편집]
리우빌 정리에 따르면, 모든 유계 전해석 함수는 상수 함수이다.
유계 전해석 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 코시 부등식에 의하여, 임의의
및
에 대하여,
![{\displaystyle |f'(z_{0})|\leq {\frac {1}{r}}\sup _{z\in \mathbb {C} }|f(z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01de56944322d58dc0bc77590628a39f416d00d8)
이므로,
![{\displaystyle |f'(z_{0})|\leq \lim _{r\to 0^{+}}{\frac {1}{r}}\sup _{z\in \mathbb {C} }|f(z)|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cdf7466664d175dea87bddcdb3babbff3ec9e6)
이다. 즉, 임의의
에 대하여,
이며, 따라서
는 상수 함수이다.
프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.
참고 문헌[편집]
- 강승필, 『해설 복소함수론』, 경문사, 2007
외부 링크[편집]