복소해석학에서 코시 변환(영어: Cauchy transform) 또는 코시형 적분(-型積分, 영어: Cauchy-type integral)은 코시 적분 공식에 등장하는 적분 변환이다.
조각마다
곡선
위에 정의된 연속 함수
의 코시 변환 상
는 다음과 같은 함수이다.
![{\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59109d4c04a7c025d3c260f6ce6b411642c104c)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-w}}\mathrm {d} z\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ca635bdabc421137bfe6fd17062a0857b93499)
조각마다
곡선
위에 정의된 연속 함수
의 코시 변환 상
는 정칙 함수이다. 또한, 임의의 음이 아닌 정수
및
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}f)^{(n)}(w)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628f55444d3a6f5243968e447c0191c0bc4f8712)
임의의
및
를 취하자. 그렇다면, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z-w'}}&={\frac {1}{z-w}}\cdot {\frac {1}{1-(w'-w)/(z-w)}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(w'-w)^{n}}{(z-w)^{n+1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca6bfd9656c1e891fe17d6be221a522518ede51)
이다. 이 급수는
![{\displaystyle {\frac {(w'-w)^{n}}{(z-w)^{n+1}}}\leq {\frac {1}{d(w,\gamma ([a,b]))}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b976d3227d36f34dfb64414cf0122ab274721f)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{d(w,\gamma ([a,b]))}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6c202c4db22f6a47debafca7db2fcd6d104081)
이므로
에서 균등 수렴한다. 따라서,
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}f)(w')={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-w'}}\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(w'-w)^{n}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ace47c960c741827b8448b2212ff41bd7b9444f)
이다. 즉,
는
에서 정칙 함수이며, 임의의 음이 아닌 정수
에 대하여,
![{\displaystyle {\frac {({\mathcal {C}}f)^{(n)}(w)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514d55a7604cf93f94247a466b7b93a215033c25)
가 성립한다.
유계 연결 열린집합
의 경계
가 유한 개의 조각마다
곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수
가
에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면,
의 코시 변환 상은
![{\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \partial D\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd82fb24086b0f5b24cf0e7a1f3e1f44ba6ed50)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\begin{cases}f(w)&w\in D\\0&w\not \in D\end{cases}}\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \partial D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c7bd09f2c917101c49a84741b49a2bdf879a3e)
이다.
(양의 방향을 갖는) 곡선[2]:5-6
![{\displaystyle \partial \operatorname {B} (0,2)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f7bc4c8a0b59fb6a2056aff56d3d1cabb36dbb)
위의 연속 함수
![{\displaystyle f\colon \partial \operatorname {B} (0,2)\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655f2fbe29d7cecaca6f1de001f30c25e08dabe4)
![{\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-i)(z-3i)}}\qquad \forall z\in \varphi \colon \partial \operatorname {B} (0,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e144e39cdeed70d6e5f00177ffcd1018bfd35d3)
에 대한 코시 변환 상은
![{\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \partial \operatorname {B} (0,1)\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd983c0abe0311d871ef717ab147008bfca2dde)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\begin{cases}1/(w-3i)&w\in \operatorname {B} (0,1)\\1/2i(w-i)&w\not \in \operatorname {B} (0,1)\end{cases}}\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \partial \operatorname {B} (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f73dc2305d2bf8450c443c23e5492fdd69dffe8)
이다.