코시 변환

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복소해석학에서, 코시 변환(영어: Cauchy transform) 또는 코시형 적분(-型積分, 영어: Cauchy-type integral)은 코시 적분 공식에 등장하는 적분 변환이다.

정의[편집]

조각마다 곡선 위에 정의된 연속 함수 코시 변환는 다음과 같은 함수이다.

성질[편집]

조각마다 곡선 위에 정의된 연속 함수 의 코시 변환 상 정칙 함수이다. 또한, 임의의 음이 아닌 정수 에 대하여, 다음이 성립한다.

증명:[1]:89

임의의 를 취하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,

이다. 이 급수는

이므로 에서 균등 수렴한다. 따라서,

이다. 즉, 에서 정칙 함수이며, 임의의 음이 아닌 정수 에 대하여,

가 성립한다.

유계 연결 열린집합 경계 가 유한 개의 조각마다 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면, 의 코시 변환 상은

이다.

[편집]

(양의 방향을 갖는) 곡선[2]:5-6

위의 연속 함수

에 대한 코시 변환 상은

이다.

각주[편집]

  1. 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1. 
  2. Zhdanov, Michael S. (1988). 《Integral Transforms in Geophysics》 (영어) 2판. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-72628-6. ISBN 978-3-642-72630-9.