코르테버흐-더프리스 방정식

코르테버흐-더프리스 방정식 $u_{t}+uu_{x}+\delta ^{2}u_{xxx}$의 수치해 ($\delta =0.022$, $u(x,t=0)=\cos(\pi x)$)

수학에서 코르테버흐-더프리스 방정식(영어: Korteweg–de Vries equation, KdV 방정식)은 옅은 수면파를 나타내는 비선형 편미분 방정식이다. 적분가능계의 하나다.

정의

코르테버흐-더프리스 방정식은 2변수 함수 $u(x,t)$에 대한 3차 비선형 편미분 방정식이며, 다음과 같다.

$u_{t}+u_{xxx}=6uu_{x}$

계수 6은 일부 공식의 편의를 위하여 삽입한 것이다. 사실, $(t,x,u)$에 서로 다른 상수를 곱하여, 코르테버흐-더프리스 방정식의 세 항의 계수들을 각각 임의의 0이 아닌 수로 놓을 수 있다.

라그랑지언 형태

다음과 같은 라그랑지언 밀도의 오일러-라그랑주 방정식을 생각하자.

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}f_{x}f_{t}+f_{x}^{3}-{\frac {1}{2}}f_{xx}^{2}$

여기에

$u=f_{x}$

로 치환하면, 이는 코르테버흐-더프리스 방정식과 같다.

성질

대칭

코르테버흐-더프리스 방정식은 변환

$x\mapsto -x$

$t\mapsto -t$

$u\mapsto u$

에 대하여 불변이다. 즉, 만약 코르테버흐-더프리스 방정식의 해 $u(t,x)$가 주어졌을 때, $u(-t,-x)$ 역시 코르테버흐-더프리스 방정식의 해이다.

럭스 쌍

코르테버흐-더프리스 방정식은 다음과 같은 럭스 쌍을 가진다.

$L=-\partial _{x}^{2}+u$

$P=6u\partial _{x}+3u_{x}-4u_{x}^{3}$

즉, 코르테버흐-더프리스 방정식을 다음과 같은 럭스 방정식

$L_{t}=[P,L]$

으로 쓸 수 있다. 따라서 코르테버흐-더프리스 방정식은 적분가능계임을 알 수 있다.

운동 상수

코르테버흐-더프리스 방정식은 무한히 많은 운동 상수를 갖는다. 구체적으로, 변수 $u(x,t)$에 대하여 다음과 같은 다항식들을 생각하자.

$P_{n}\in \mathbb {Z} \left[u,u_{x},u_{xx},\dotsc ,{\frac {\partial ^{n-1}u}{\partial x^{n-1}}}\right]$

$P_{1}=u$

$P_{n+1}=-{\frac {\partial }{\partial x}}P_{n}+\sum _{i=1}^{n-2}P_{i}P_{n-1-i}$

그렇다면, 임의의 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 다음 적분은 코르테버흐-더프리스 방정식의 운동 상수를 이룬다.

$\int _{-\infty }^{+\infty }P_{n}\left(u,u_{x},u_{xx},\dotsc \right)\,\mathrm {d} x$

다만, 만약 $n$이 짝수일 때 이는 항상 0이다. 그러나 $n$이 홀수일 때 이는 0이 아니다.

낮은 차수의 운동 상수들은 다음과 같다.

차수 $n$	운동 상수 $P_{n}$	설명
1	$\textstyle \int u$	질량
2	$\textstyle \int (-u_{x})=0$
3	$\textstyle \int (u_{xx}+u^{2})=\int u^{2}$	운동량
4	$\textstyle \int (-u_{xxx}-4uu_{x})=0$
5	$\textstyle \int (u_{xxxx}+5u_{x}^{2}+6uu_{xx}+2u^{3})=\int (2u^{3}-u_{x}^{2})$	에너지

솔리톤 해

코르테버흐-더프리스 방정식은 솔리톤 해를 갖는다. 이러한 해의 가설 풀이는

$u(t,x)=u(x-ct)\qquad (c\in \mathbb {R} )$

의 꼴이다. 여기서 $c$는 솔리톤의 속도이다. 또한, 솔리톤이 공간에서 국소적이어야 하므로,

$\lim _{\xi \to +\infty }u(\xi )=\lim _{\xi \to -\infty }u(\xi )=0$

이다.

이러한 가설 풀이를 대입하면, 다음과 같은 3차 상미분 방정식을 얻는다. (여기서 윗점은 $\xi =x-ct$에 대한 미분이다.)

$-c{\dot {u}}+{\overset {\mathbf {...} }{u}}-6u{\dot {u}}=0$

양변을 $\xi$에 대하여 적분하여 2차 상미분 방정식을 얻을 수 있다.

$-cu+{\ddot {u}}-3u^{2}=A$

여기서 $A$는 적분 상수이다. 이는 다음과 같은 라그랑지언의 오일러-라그랑주 방정식이다.

$L(u,{\dot {u}})={\frac {1}{2}}{\dot {u}}^{2}+u^{3}+{\frac {1}{2}}cu^{2}+Au$

이는 퍼텐셜

$V(u)=-u^{3}-{\frac {1}{2}}cu^{2}-Au$

속에서 움직이는 입자로 해석할 수 있다. 이제, 솔리톤의 가설 풀이를 만족시키려면, $u(\pm \infty )=0$이어야 한다. 이는 입자가 퍼텐셜의 국소 극대점에서 $\xi =-\infty$에서 시작하여, 퍼텐셜의 반대 벽을 기어오른 뒤, 다시 원래 국소 극대점으로 $\xi =+\infty$에 도달하는 것에 해당한다. 이는 $A=0$이며 $c>0$일 때에만 가능하다.

이러한 해는 쉽게 계산할 수 있으며, 구체적으로 다음과 같다.

$u(x,t)=-{\frac {1}{2}}c\left(\cosh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {c}}(x-ct-x_{0})\right)\right)^{-2}$

여기서 $x_{0}$는 초기 조건 $t=0$에서 솔리톤의 위치이다.

역사

조제프 발랑탱 부시네스크(프랑스어: Joseph Valentin Boussinesq IPA: [ʒɔzɛf valɑ̃tɛ̃ businɛsk])가 1877년에 최초로 발견하였다.^{:360, 주석} 이를 1895년에 연구한 디데릭 요하너스 코르테버흐(네덜란드어: Diederik Johannes Korteweg)와 귀스타브 더프리스(네덜란드어: Gustav de Vries)의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Korteweg-de Vries equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Korteweg-de Vries Equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Korteweg de Vries equation”. 《nLab》 (영어).