코르테버흐-더프리스 방정식

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코르테버흐-더프리스 방정식 의 수치해 (, )

수학에서, 코르테버흐-더프리스 방정식(영어: Korteweg–de Vries equation, KdV 방정식)은 옅은 수면파를 나타내는 비선형 편미분 방정식이다.[1][2] 적분가능계의 하나다.

정의[편집]

코르테버흐-더프리스 방정식은 2변수 함수 에 대한 3차 비선형 편미분 방정식이며, 다음과 같다.

계수 6은 일부 공식의 편의를 위하여 삽입한 것이다. 사실, 에 서로 다른 상수를 곱하여, 코르테버흐-더프리스 방정식의 세 항의 계수들을 각각 임의의 0이 아닌 수로 놓을 수 있다.

라그랑지언 형태[편집]

다음과 같은 라그랑지언 밀도의 오일러-라그랑주 방정식을 생각하자.

여기에

로 치환하면, 이는 코르테버흐-더프리스 방정식과 같다.

성질[편집]

대칭[편집]

코르테버흐-더프리스 방정식은 변환

에 대하여 불변이다. 즉, 만약 코르테버흐-더프리스 방정식의 해 가 주어졌을 때, 역시 코르테버흐-더프리스 방정식의 해이다.

럭스 쌍[편집]

코르테버흐-더프리스 방정식은 다음과 같은 럭스 쌍을 가진다.

즉, 코르테버흐-더프리스 방정식을 다음과 같은 럭스 방정식

으로 쓸 수 있다. 따라서 코르테버흐-더프리스 방정식은 적분가능계임을 알 수 있다.

운동 상수[편집]

코르테버흐-더프리스 방정식은 무한히 많은 운동 상수를 갖는다. 구체적으로, 변수 에 대하여 다음과 같은 다항식들을 생각하자.

그렇다면, 임의의 자연수 에 대하여 다음 적분은 코르테버흐-더프리스 방정식의 운동 상수를 이룬다.

다만, 만약 이 짝수일 때 이는 항상 0이다. 그러나 이 홀수일 때 이는 0이 아니다.

낮은 차수의 운동 상수들은 다음과 같다.

차수 운동 상수 설명
1 질량
2
3 운동량
4
5 에너지

솔리톤 해[편집]

코르테버흐-더프리스 방정식은 솔리톤 해를 갖는다. 이러한 해의 가설 풀이

의 꼴이다. 여기서 는 솔리톤의 속도이다. 또한, 솔리톤이 공간에서 국소적이어야 하므로,

이다.

이러한 가설 풀이를 대입하면, 다음과 같은 3차 상미분 방정식을 얻는다. (여기서 윗점은 에 대한 미분이다.)

양변을 에 대하여 적분하여 2차 상미분 방정식을 얻을 수 있다.

여기서 적분 상수이다. 이는 다음과 같은 라그랑지언오일러-라그랑주 방정식이다.

이는 퍼텐셜

속에서 움직이는 입자로 해석할 수 있다. 이제, 솔리톤의 가설 풀이를 만족시키려면, 이어야 한다. 이는 입자가 퍼텐셜의 국소 극대점에서 에서 시작하여, 퍼텐셜의 반대 벽을 기어오른 뒤, 다시 원래 국소 극대점으로 에 도달하는 것에 해당한다. 이는 이며 일 때에만 가능하다.

이러한 해는 쉽게 계산할 수 있으며, 구체적으로 다음과 같다.

여기서 는 초기 조건 에서 솔리톤의 위치이다.

역사[편집]

조제프 발랑탱 부시네스크(프랑스어: Joseph Valentin Boussinesq IPA[ʒɔzɛf valɑ̃tɛ̃ businɛsk])가 1877년에 최초로 발견하였다.[3]:360, 주석[4] 이를 1895년에 연구한 디데릭 요하너스 코르테버흐(네덜란드어: Diederik Johannes Korteweg)와 귀스타브 더프리스(네덜란드어: Gustav de Vries)의 이름을 땄다.[5][6]

참고 문헌[편집]

  1. Drazin, P. G. (1983). 《Solitons》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 85. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27422-2. MR 0716135. 
  2. Kappeler, Thomas; Pöschel, Jürgen (2003). 《KdV & KAM》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge (영어) 45. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-02234-3. MR 1997070. doi:10.1007/978-3-662-08054-2. 
  3. Boussinesq, J. (1877). “Essai sur la théorie des eaux courantes”. 《Memoires presentes par divers savants à l’Académie Royale des Sciences de l’Institut national de France》 (프랑스어) 23: 1–680. 
  4. de Jager, E.M. (2006). “On the origin of the Korteweg–de Vries equation”. arXiv:math/0602661. 
  5. Korteweg, Diederik Johannes; de Vries, Gustav (1895). “On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves”. 《Philosophical Magazine》 39 (240): 422–443. doi:10.1080/14786449508620739. 
  6. Miles, John W. (1981). “The Korteweg–De Vries equation: A historical essay”. 《Journal of Fluid Mechanics》 106: 131–147. Bibcode:1981JFM...106..131M. doi:10.1017/S0022112081001559. 

외부 링크[편집]