함수해석학 에서 작용소 노름 (作用素norm, 영어 : operator norm )은 두 노름 공간 사이의 유계 작용소 에 대하여 정의되는 노름 이다.
두 노름 공간 사이의 유계 작용소 는 단위 벡터를 어떤 유한한 길이 이상으로 늘리지 못하는, 두 노름 공간 사이의 선형 변환 인데, 유계 작용소가 단위 벡터를 늘리는 최댓값을 그 작용소 노름 이라고 한다. 즉, 작용소 노름이 c 인 작용소는 임의의 벡터의 길이를 c 배 초과로 늘리지 못한다.
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나이며,
V
{\displaystyle V}
와
W
{\displaystyle W}
가
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간 이라고 하자. 그렇다면, 이들 사이의 선형 변환
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
에 대하여, 다음과 같은 음이 아닌 확장된 실수 를 정의할 수 있으며, 이를
T
{\displaystyle T}
의 작용소 노름 이라고 한다.[1] :69, Example III.1.4 [2] :92–93, Theorem 4.1; 95, Theorem 4.4
‖
T
‖
=
sup
v
∈
V
∖
{
0
}
‖
T
v
‖
W
‖
v
‖
V
=
sup
v
∈
V
∖
{
0
}
‖
T
(
v
/
‖
v
‖
V
)
‖
W
=
inf
{
c
∈
[
0
,
∞
)
:
‖
T
v
‖
W
≤
c
‖
v
‖
V
∀
v
∈
V
}
=
inf
{
c
∈
[
0
,
∞
)
:
‖
T
v
‖
W
‖
v
‖
V
≤
c
∀
v
∈
V
∖
{
0
}
}
=
sup
v
∈
V
,
‖
v
‖
V
=
1
‖
T
v
‖
W
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {\|Tv\|_{W}}{\|v\|_{V}}}\\&=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}\|T(v/\|v\|_{V})\|_{W}\\&=\inf \left\{c\in [0,\infty )\colon \|Tv\|_{W}\leq c\|v\|_{V}\forall v\in V\right\}\\&=\inf \left\{c\in [0,\infty ):{\frac {\|Tv\|_{W}}{\|v\|_{V}}}\leq c\forall v\in V\setminus \{0\}\right\}\\&=\sup _{v\in V,\;\|v\|_{V}=1}\|Tv\|_{W}\\&\in [0,\infty ]\end{aligned}}}
위 상계 (또는 하계 )는 일반적으로 포화되지 못할 수 있다.
작용소 노름은 유계 작용소 위의 노름 이다. 즉, 아래의 성질을 만족시킨다.
‖
T
‖
=
0
⟺
T
=
0
∀
T
∈
B
(
V
,
W
)
{\displaystyle \|T\|=0\iff T=0\qquad \forall T\in \operatorname {B} (V,W)}
‖
a
T
‖
=
|
a
|
‖
T
‖
∀
a
∈
K
,
T
∈
B
(
V
,
W
)
{\displaystyle \|aT\|=|a|\|T\|\qquad \forall a\in \mathbb {K} ,\;T\in \operatorname {B} (V,W)}
(삼각 부등식 )
‖
T
+
U
‖
≤
‖
T
‖
+
‖
U
‖
∀
T
,
U
∈
B
(
V
,
W
)
{\displaystyle \|T+U\|\leq \|T\|+\|U\|\qquad \forall T,U\in \operatorname {B} (V,W)}
두
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간
V
{\displaystyle V}
와
W
{\displaystyle W}
사이의 임의의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-선형 변환
T
∈
hom
K
(
V
,
W
)
{\displaystyle T\in \hom _{\mathbb {K} }(V,W)}
에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치 이다.[2] :24, Theorem 1.32
T
{\displaystyle T}
는 유계 작용소 이다.
T
{\displaystyle T}
는 (
V
{\displaystyle V}
와
W
{\displaystyle W}
의 위상에 대하여) 연속 함수 이다.
(
V
{\displaystyle V}
와
W
{\displaystyle W}
의 덧셈 위상군 균등 공간 구조에 대하여) 균등 연속 함수 이다.
T
{\displaystyle T}
는 (
V
{\displaystyle V}
와
W
{\displaystyle W}
의 노름 거리 함수 에 대하여) 립시츠 연속 함수 이다.
T
{\displaystyle T}
의 작용소 노름이 유한하다. 즉,
‖
T
‖
<
∞
{\displaystyle \|T\|<\infty }
이다.
이 가운데 ‘립시츠 연속 ⇒ 균등 연속 ⇒ 연속’은 자명하다.
증명 (연속 ⇒ 유한 노름):
연속 작용소
T
{\displaystyle T}
가 주어졌다고 하자. 연속성의 정의에 따라,
T
(
ball
V
(
0
,
δ
)
)
⊆
ball
W
(
0
,
1
)
{\displaystyle T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,\delta )\right)\subseteq \operatorname {ball} _{W}(0,1)}
인 양의 실수
δ
∈
R
+
{\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{+}}
가 존재한다. (여기서
ball
(
x
,
r
)
{\displaystyle \operatorname {ball} (x,r)}
는 열린 공 을 뜻한다.)
그렇다면, 연속성에 따라, 임의의
v
∈
V
∖
{
0
}
{\displaystyle v\in V\setminus \{0\}}
에 대하여,
δ
v
/
2
‖
v
‖
∈
ball
V
(
0
,
δ
)
{\displaystyle \delta v/2\|v\|\in \operatorname {ball} _{V}(0,\delta )}
이므로,
‖
T
v
‖
=
2
‖
v
‖
δ
⋅
‖
T
(
δ
v
/
2
‖
v
‖
)
‖
≤
2
‖
v
‖
δ
{\displaystyle \|Tv\|={\frac {2\|v\|}{\delta }}\cdot \|T(\delta v/2\|v\|)\|\leq {\frac {2\|v\|}{\delta }}}
이다. 즉,
‖
T
‖
≤
2
δ
<
∞
{\displaystyle \|T\|\leq {\frac {2}{\delta }}<\infty }
이다.