유리 표준형

선형대수학에서 유리 표준형(有理標準型, 영어: rational canonical form) 또는 프로베니우스 표준형(Frobenius標準型, 영어: Frobenius canonical form)은 임의의 체를 성분으로 하는 정사각 행렬을 그와 닮은, 동반 행렬들의 직합으로 나타내는 행렬 표준형이다.

정의

체 $K$를 계수로 하는 일계수 다항식

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{\deg p-1}x^{\deg p-1}+x^{\deg p}\in K[x]$

$a_{0},a_{1},\dots ,a_{\deg p-1}\in K$

의 동반 행렬(同伴行列, 영어: companion matrix)은 다음과 같은 $\deg p\times \deg p$ 정사각 행렬이다.

$C(p)={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&\cdots &1&-a_{\deg p-1}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (\deg p;K)$

유리 표준형

체 $K$ 위의 임의의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 가역 행렬 $G\in \operatorname {GL} (n;K)$ 및 유일한 일계수 다항식 집합 $\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{k}\}\subset K[x]$이 존재하며, $G^{-1}MG$를 $M$의 (불변 인자) 유리 표준형(영어: (invariant factors) rational canonical form)이라고 한다.

$G^{-1}MG=\operatorname {diag} (C(d_{1}),C(d_{2}),\dots ,C(d_{k}))$

$d_{k}(x)\mid d_{k-1}(x)\mid \cdots \mid d_{1}(x)$

$\deg d_{i}\geq 1\qquad (\forall i\in \{1,2,\dots ,k\})$

이는 $M$으로 유도되는 $K[x]$-가군

$K^{n}$

$x\cdot v=Mv\qquad (\forall v\in K^{n})$

의 불변 인자 분해

$K^{n}\cong K[x]/(d_{1}(x))\oplus K[x]/(d_{2}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(d_{k}(x))$

에서, $M$에 대응하는 $K$-선형 변환 $v\mapsto x\cdot v$의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

$\left\{1+(d_{i}(x)),x+(d_{i}(x)),\dots ,x^{\deg d_{i}-1}+(d_{i}(x))\right\}\subset K[x]/(d_{i}(x))\qquad (i=1,2,\dots ,k)$

으뜸 유리 표준형

체 $K$ 위의 임의의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 $G\in \operatorname {GL} (n;K)$ 및 유일한 기약 일계수 다항식의 양의 거듭제곱의 중복집합 $\{p_{1}^{e_{1}},p_{2}^{e_{2}},\dots ,p_{l}^{e_{l}}\}\subset K[x]$이 존재하며, $G^{-1}MG$를 $M$의 으뜸 유리 표준형(영어: primary rational canonical form) 또는 초등 인자 유리 표준형(영어: elementary divisors rational canonical form)이라고 한다.

$G^{-1}MG=\operatorname {diag} (C(p_{1}^{e_{1}}),C(p_{2}^{e_{2}}),\dots ,C(p_{l}^{e_{l}}))$

이는 $K[x]$-가군

$K^{n}$

$x\cdot v=Mv\qquad (\forall v\in K^{n})$

의 으뜸 분해

$K^{n}\cong K[x]/(p_{1}^{e_{1}}(x))\oplus K[x]/(p_{2}^{e_{2}}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(p_{l}^{e_{l}}(x))$

에서, $K$-선형 변환 $v\mapsto x\cdot v$의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

$\left\{1+(p_{i}^{e_{i}}(x)),x+(p_{i}^{e_{i}}(x)),\dots ,x^{\deg(p_{i}^{e_{i}})-1}+(p_{i}^{e_{i}}(x))\right\}\subset K[x]/(p_{i}^{e_{i}}(x))\qquad (i=1,2,\dots ,l)$

역사와 어원

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다. ‘유리’(영어: rational)라는 표현은 유리 표준형이 임의의 체를 성분으로 하는 행렬에 대하여 성립하기 때문에 유리 표준형을 얻기 위해 체를 확대할 필요가 없다는 사실을 일컫는다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Rational canonical form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.