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옌센 부등식

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수학에서 옌센 부등식(영어: Jensen’s inequality)은 기댓값볼록 함수와 볼록 함수의 기댓값 사이에 성립하는 부등식이다.[1][2]

정의

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열린구간 위의 볼록 함수 및 실수 및 음이 아닌 실수 ()가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.

보다 일반적으로, 열린구간 위의 볼록 가측 함수 확률 공간 위의 확률 변수 가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 만약 기댓값 가 존재한다면, 다음이 성립한다.[1]:66[2]:86, §3.1, Theorem 3.1.9

여기서 기댓값이다.

특수한 경우

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산술-기하 평균 부등식

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만약 이며, 일 경우, 옌센 부등식은 산술-기하 평균 부등식

이다.

영의 부등식

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만약 이며, 이며, 이며, , ()일 경우, 옌센 부등식은 영의 부등식

이다.

멱함수

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양의 실수 에 대하여, 만약 이며, 이며, 일 경우, 옌센 부등식은

이다.

양의 실수 에 대하여, 만약 이며, 이며, 일 경우, 옌센 부등식은

이다.

역사

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요한 옌센(덴마크어: Johan Jensen)의 이름을 땄다.

참고 문헌

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  1. 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002
  2. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 

외부 링크

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