수학에서 옌센 부등식(영어: Jensen’s inequality)은 기댓값의 볼록 함수와 볼록 함수의 기댓값 사이에 성립하는 부등식이다.[1][2]
열린구간
위의 볼록 함수
및 실수
및 음이 아닌 실수
(
)가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle f(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots +p_{n}x_{n})\leq p_{1}f(x_{1})+p_{2}f(x_{2})+\cdots +p_{n}f(x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4992b64815973f0db0b808c92175afc6bc418da)
보다 일반적으로, 열린구간
위의 볼록 가측 함수
및 확률 공간
위의 확률 변수
가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 만약 기댓값
와
가 존재한다면, 다음이 성립한다.[1]:66[2]:86, §3.1, Theorem 3.1.9
![{\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94af85375975c8e5b3d2fff093d4b2aaffc0b174)
여기서
는 기댓값이다.
특수한 경우[편집]
산술-기하 평균 부등식[편집]
만약
이며,
일 경우, 옌센 부등식은 산술-기하 평균 부등식
![{\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e04c5f7b3db500ae2b3b00e9f96673024da181)
이다.
영의 부등식[편집]
만약
이며,
이며,
이며,
,
(
)일 경우, 옌센 부등식은 영의 부등식
![{\displaystyle {\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}\geq x^{1/p}y^{1/q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7062eb34cccfe182a5c5539e5361a150d786a5)
이다.
멱함수[편집]
양의 실수
에 대하여, 만약
이며,
이며,
일 경우, 옌센 부등식은
![{\displaystyle (|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|)^{p}\leq n^{p-1}(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9fe20e98157a42af717c9626e98ab6ffb1a5e6)
이다.
양의 실수
에 대하여, 만약
이며,
이며,
일 경우, 옌센 부등식은
![{\displaystyle (|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|)^{p}\geq n^{p-1}(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8049c3661e496e9efefb710b061465cd95f78ed2)
이다.
요한 옌센(덴마크어: Johan Jensen)의 이름을 땄다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]