대수기하학과 심플렉틱 기하학에서 양자 코호몰로지(量子cohomology, 영어: quantum cohomology)는 코호몰로지 환의 q-변형이다. 양자 코호몰로지의 곱은 그로모프-위튼 불변량으로부터 정의된다.
이 콤팩트 켈러 다양체라고 하자.
노비코프 환[편집]
격자
의 기저
를
의 각 2차원 부분 다양체에 대응하게 잡자.
의 노비코프 환(영어: Novikov ring)
![{\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} [q_{i},q_{i}^{-1}]_{i=1,\dots ,b_{2}(M)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff15c0caab6f6f8206bc03e1cc0d3573e4b44a1b)
은 다음과 같은 생성원들로 생성되는 정수 계수 가환 형식적 멱급수환이다.
- 각
에 대하여,
. 이들의 등급은
이다.
임의의
![{\displaystyle \beta =\sum _{i}c_{i}\alpha _{i}\in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ea2b85a97423d62158127c243c7c5acca08f92)
에 대하여,
![{\displaystyle q_{\beta }=\prod _{i}q_{i}^{c_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ba9891a8f4c4300673b01961e2628dfafce8f5)
로 쓰자.
대신
로 쓰기도 한다.
만약
이 칼라비-야우 다양체인 경우
이므로 노비코프 환의 모든 원소들은 등급이 0이다.
작은 양자 코호몰로지[편집]
위의 작은 양자 코호몰로지(영어: small quantum cohomology)
는 아벨 군으로서 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {QH} (M;\Lambda )=\operatorname {H} (M;\Lambda )\otimes _{\mathbb {Z} }\Lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a6cfb693292cc32eb46f57624f8061266082d4)
이 위의 곱
![{\displaystyle *\colon \operatorname {QH} (M;\Lambda )\times \operatorname {QH} (M;\Lambda )\to \operatorname {QH} (M;\Lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32dbe04dabad8f5dbc041cdb0aee3cb6a576d71e)
은 코호몰로지의 합곱
과 다르며, 다음과 같이 그로모프-위튼 불변량으로 정의된다.
![{\displaystyle \int _{M}(a*b)\smile c=\sum _{\alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}\operatorname {GW} _{0,3}^{M,\alpha }(a,b,c)q_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f849469170fdb22445029b9e2e1d51d33d34b7a0)
이는 결합 법칙 및 등급 가환 법칙을 만족시키며, 등급을 덧셈법으로 보존한다.
![{\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5f454bc3f6f4cd80632e092956d92ce2afd5e8)
![{\displaystyle a*b=(-1)^{\deg a\deg b}b*a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f503284dd39c3cffa851a2b9ff134ea6a039ec9c)
![{\displaystyle \deg(a*b)=\deg a+\deg b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17990fbc8e439bb9b2ca4e3877ca1c81e504d19)
위의 작은 양자 코호몰로지의 짝수 차수 성분
에서, 0의 (충분히 작은) 근방
![{\displaystyle 0\in U\subset \operatorname {QM} ^{2\bullet }(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631f960cd5f83fa3b3242c16ed5dceee624160bc)
은 프로베니우스 다양체의 구조를 가진다. 이 경우 작은 양자 코호몰로지 곱
은
의 접다발
위의 접속을 이룬다. 작은 양자 코호몰로지 곱의 가환 법칙은 비틀림이 0임을, 결합 법칙은 리만 곡률이 0임을 뜻한다.
큰 양자 코호몰로지[편집]
임의의
에 대하여, 다음과 같은 큰 양자 코호몰로지 곱을 정의하자.
![{\displaystyle *_{a}\colon U\times U\to U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2c12894abf57045232349c89737d7186691ed0)
![{\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{\alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}{\frac {1}{n!}}\operatorname {GW} _{0,n+3}^{X,\alpha }(x,y,z,\overbrace {a,\ldots ,a} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb8066d3ce6b3fdd7f051b988f35eba4be5a048)
그렇다면,
를 큰 양자 코호몰로지(영어: big quantum cohomology)라고 한다. 작은 양자 코호몰로지는 종수 0의 그로모프-위튼 불변량 가운데 일부만을 포함하지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 종수 0 그로모프-위튼 불변량을 포함한다.
복소수 사영 공간
은 푸비니-슈투디 계량을 부여하면 콤팩트 켈러 다양체를 이룬다. 이 경우, (고전적) 코호몰로지는
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p]/(p^{n+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff030ea0cb66f5eda91061be57f40c7594ede563)
![{\displaystyle \deg p=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e814de38b59cdbd1af35dd03182f301d82f1027)
이다.
![{\displaystyle \operatorname {H} _{2}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13056918c4cbf81a3f02c625a9d21f6ba57aa834)
이므로, 양자 코호몰로지에는 한 개의 추가 생성원
가 존재하며,
![{\displaystyle c_{k}(\mathbb {CP} ^{n})={\binom {n+1}{k}}c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a727a794927fe3d853b3acb90178ec57582f8a0)
이므로
![{\displaystyle \deg q=2{\binom {n+1}{1}}=2(n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc30c37acae6eb8b832ef1ca7d8c6e89134dc75)
이다. 구체적으로, 작은 양자 코호몰로지는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p,q]/(p^{n+1}-q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81152e2f488f3e29fbcd2d796caad65bffde27ba)
![{\displaystyle \deg p=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e814de38b59cdbd1af35dd03182f301d82f1027)
![{\displaystyle \deg q=2(n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f02bbde792fb0257a592f02ebea737aff6cdcaa)
이다.
이면 양자 코호몰로지가 고전적 코호몰로지로 수렴하는 것을 알 수 있다.
양자 코호몰로지는 위상 끈 이론에서 2차원
시그마 모형의 A-모형 위상 뒤틂의 손지기환으로 등장하며, A-모형과 B-모형 사이의 거울 대칭에 핵심적인 역할을 한다.
참고 문헌[편집]