아르프 불변량
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이차 형식 이론에서, 아르프 불변량(Arf不變量, 영어: Arf invariant)는 표수 2의 체 위의 이차 형식을 분류하는 불변량이다.
정의
[편집]의 경우의 정의
[편집]다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 항상
임을 보일 수 있다.
의 아르프 불변량은 다음과 같다.
일반적 정의
[편집]다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 를 다음과 같은 꼴로 나타내는 의 기저 가 존재함을 보일 수 있다.
특히, 만약 가 비특이 이차 형식이라면 은 항상 짝수이다.
그렇다면, 다음과 같은 값을 생각하자.
이 값은 선택한 기저 에 의존하지만, 다른 기저 를 선택하였을 경우
가 된다. 또한, 이 집합은 의 덧셈 부분군을 이룬다.
증명:
임의의 에 대하여,
이다.
이에 따라, 덧셈 아벨 군 속에서 취한 이 합은 의 불변량이다. 이를 의 아르프 불변량이라고 한다.
특히, 만약 일 경우 이므로, 아르프 불변량은 의 원소가 된다.
성질
[편집]가 표수 2의 완전체라고 하자. 그렇다면, 위의 유한 차원 비특이 이차 형식의 동형류들은 항상 그 차원과 아르프 불변량에 대하여 완전히 결정된다. (그러나 이는 완전체가 아닌 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)
역사
[편집]자히트 아르프가 1941년에 도입하였다.[1][2][3]
응용
[편집]아르프 불변량은 매듭 이론 및 의 꼴의 차원의 매끄러운 다양체의 분류에 등장한다.
각주
[편집]- ↑ Arf, Cahit (1941). “Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2 (Teil Ⅰ)”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 183: 148–167. doi:10.1515/crll.1941.183.148. ISSN 0075-4102. Zbl 0025.01403.
- ↑ Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2010년 4월). “On the Arf invariant in historical perspective”. 《Mathematische Semesterberichte》 (영어) 57 (1): 73–102. doi:10.1007/s00591-011-0085-y. ISSN 0720-728X. Zbl 1201.01015.
- ↑ Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2011년 10월). “On the Arf invariant in historical perspective, part 2”. 《Mathematische Semesterberichte》 (영어) 58 (2): 125–136. doi:10.1007/s00591-011-0085-y. ISSN 0720-728X. Zbl 1244.11032.
외부 링크
[편집]- “Arf-invariant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Arf invariant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Arf invariant”. 《nLab》 (영어).
- Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2011년 6월 17일). “Cahit Arf and his invariant” (PDF) (영어).