아르프 불변량

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2009년에 발행된, 10 터키 리라 지폐에는 자히트 아르프의 초상화와 아르프 불변량의 정의가 등장한다.

이차 형식 이론에서, 아르프 불변량(Arf不變量, 영어: Arf invariant)는 표수 2 위의 이차 형식을 분류하는 불변량이다.

정의[편집]

의 경우의 정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 유한 차원 -벡터 공간
  • 위의 비퇴화 이차 형식

그렇다면, 항상

임을 보일 수 있다.

아르프 불변량은 다음과 같다.

일반적 정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 표수 2의 체
  • 유한 차원 -벡터 공간
  • 위의 이차 형식

그렇다면, 를 다음과 같은 꼴로 나타내는 기저 가 존재함을 보일 수 있다.

특히, 만약 비특이 이차 형식이라면 은 항상 짝수이다.

그렇다면, 다음과 같은 값을 생각하자.

이 값은 선택한 기저 에 의존하지만, 다른 기저 를 선택하였을 경우

가 된다. 또한, 이 집합은 의 덧셈 부분군을 이룬다.

증명:

임의의 에 대하여,

이다.

이에 따라, 덧셈 아벨 군 속에서 취한 이 합은 의 불변량이다. 이를 아르프 불변량이라고 한다.

특히, 만약 일 경우 이므로, 아르프 불변량은 의 원소가 된다.

성질[편집]

표수 2완전체라고 하자. 그렇다면, 위의 유한 차원 비특이 이차 형식의 동형류들은 항상 그 차원과 아르프 불변량에 대하여 완전히 결정된다. (그러나 이는 완전체가 아닌 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

역사[편집]

자히트 아르프가 1941년에 도입하였다.[1][2][3]

응용[편집]

아르프 불변량은 매듭 이론의 꼴의 차원의 매끄러운 다양체의 분류에 등장한다.

참고 문헌[편집]

  1. Arf, Cahit (1941). “Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2 (Teil Ⅰ)”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 183: 148–167. ISSN 0075-4102. Zbl 0025.01403. doi:10.1515/crll.1941.183.148. 
  2. Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2010년 4월). “On the Arf invariant in historical perspective”. 《Mathematische Semesterberichte》 (영어) 57 (1): 73–102. ISSN 0720-728X. Zbl 1201.01015. doi:10.1007/s00591-011-0085-y. 
  3. Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2011년 10월). “On the Arf invariant in historical perspective, part 2”. 《Mathematische Semesterberichte》 (영어) 58 (2): 125–136. ISSN 0720-728X. Zbl 1244.11032. doi:10.1007/s00591-011-0085-y. 

외부 링크[편집]