![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/23px-Disambig_grey.svg.png)
공간 곡선의 비틀림에 대해서는
곡선 비틀림 문서를 참고하십시오.
미분기하학에서 비틀림 텐서(영어: torsion tensor)는 주다발의 코쥘 접속이 레비치비타 접속에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는, (1,2)차 텐서장이다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
의 주다발
위의 코쥘 접속 ![{\displaystyle \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2)
그렇다면,
의 비틀림 텐서는 다음과 같은 (1,2)-텐서장 (
값 이차 형식)
![{\displaystyle T\in \operatorname {\Gamma } (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c90696ac8f0c34a5ca17f27786119c7f3248fec)
이다.
![{\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\qquad (X,Y\in \Gamma (\mathrm {T} M))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd4df7e5e296893675d73cbf3d0d8b18acc5f33)
여기서
는 리 미분이다.
성분으로 적으면 다음과 같다. 우선, 코쥘 접속의 성분이
![{\displaystyle (\nabla _{\mu }X)^{\nu }=\partial _{\mu }X^{\nu }+\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }X^{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9208f804eefb005cb048c836c5507520209a7e0c)
라고 하자. 또한, 국소적으로 (홀로노믹) 좌표를 잡자. 그렇다면,
![{\displaystyle T(X,Y)^{\nu }=T^{\nu }{}_{\mu \rho }X^{\mu }Y^{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e10b3004b5314a4dd61898f55fbba1af687fba)
![{\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu \rho }=\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }-\Gamma _{\rho \mu }^{\nu }=2\Gamma _{[\mu \rho ]}^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008b62abc65000af0f5c40b3703b4df559adc281)
이다.
보다 일반적으로, 임의의 필바인
![{\displaystyle e_{1}^{\mu }\,\dotsc ,e_{n}^{\mu }\in \Gamma (\mathrm {T} M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accc5fa9829685dcba972a10e84e1d1a28288ac2)
을 잡자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle [e_{a},e_{b}]^{\mu }=\gamma _{ab}^{c}e_{c}^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c24ddc43d3fabbd28cd36bfc1ef81e86f1630b)
![{\displaystyle e_{a}^{\mu }(\nabla _{\mu }e^{b})_{\nu }=\omega ^{b}{}_{ac}e_{\nu }^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7ffba07c86c094c8b78b177e47a8aa8ba1f9ec)
여기서
는 스핀 접속이다.
그렇다면, 이 기저에서 비틀림 텐서는 다음과 같다.
![{\displaystyle T^{c}{}_{ab}=\omega _{ab}^{c}-\omega _{ba}^{c}-\gamma _{ab}^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61f969b8cb6002c213894d5db30cac06cf64e37)
비틀림 텐서는 (1,2)차 텐서장이며, 그 두 개의 아래 지표는 서로 반대칭이다. 즉,
값의 2차 미분 형식을 이룬다.
![{\displaystyle T^{i}{}_{jk}=-T^{i}{}_{kj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131cdaf17f32b3b8f9742d319345b6eb9d64df04)
즉,
차원의 다양체에서 그 성분은 총
개이다. 특히, 1차원 이하의 경우 비틀림 텐서는 항상 0이다. (2차원 이상의 경우 비틀림이 ≠0일 수 있다.)
아핀 다양체
의 리만 곡률
![{\displaystyle R(X,Y)Z=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]Z-\nabla _{[X,Y]}Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be88f3eca4db3be293510555dea273dbe17b8083)
을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 비안키 항등식(Bianchi恒等式, 영어: Bianchi identity)이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} _{X,Y,Z}\left[R(X,Y)Z-T(T(X,Y),Z)-(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b1e4a02e280513205fa44ba69973a35a81d20c)
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} _{X,Y,Z}\left[(\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43226e28c8c05dd88ea9ff86f7c4f7add00c3a6)
여기서
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} _{X,Y,Z}[X\dotso Y\dotso Z]=X\dotso Y\dotso Z+Y\dotso Z\dotso X+Z\dotso X\dotso Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2cf546e99c7669abf61dade21b16137a514655)
는
를 순환에 따라 치환한 합을 뜻한다.
준 리만 다양체
의 레비치비타 접속의 비틀림은 0이다.