미분기하학에서, 리우빌 미분 형식(Liouville微分形式, 영어: Liouville differential form)은 매끄러운 다양체의 공변접다발(의 외대수) 위에 정의되는 표준적인 미분 형식이다. 그 외미분은 심플렉틱 다양체(또는 멀티심플렉틱 다양체)의 구조를 정의한다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 자연수
![{\displaystyle k\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5bc4b7383031ba693b7433198ead7170954c1d)
그렇다면,
의 공변접다발
의
차 올별 외대수
![{\displaystyle E=\bigwedge ^{k}\mathrm {T} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14e6608701aa2d9a301569b849a040553770432)
를 생각하자. 그 국소 좌표는
![{\displaystyle (x,p)\colon x\in M,\;p\in E_{x}=\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b912834d1208e6eea316ef0a85982b82237c9d)
의 꼴이다. 이 경우 동형 사상
![{\displaystyle \mathrm {T} _{(x,p)}E\cong \mathrm {T} _{x}M\oplus E_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4a26ab67fd91f8c10410305014f32ac0a43a0a)
및
![{\displaystyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{(x,p)}E\cong \bigwedge ^{k}(E_{x}\oplus \mathrm {T} _{x}M)\cong \bigoplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E_{x}\otimes \bigwedge ^{i}\mathrm {T} _{x}M=\bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M\oplus E_{x}\otimes \bigwedge ^{k-1}\mathrm {T} _{x}M\oplus \dotsb \oplus \bigwedge ^{k}E_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2377625b6217e4926d040237896033de6c79cad0)
에 의하여, 사영 사상
![{\displaystyle \pi \colon \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{(x,p)}E\twoheadrightarrow \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d67e7a495c14e571944347d7260c165d44510e0)
이 존재한다. 그렇다면, 임의의 점
에 대하여
![{\displaystyle \theta |_{(x,p)}\colon \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8f774abb3956044547430d39df33141692cc2a)
![{\displaystyle \theta |_{(x,p)}\colon w\mapsto p(\pi (w))\qquad \left(x\in M,\;p\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}^{*}M,\;w\in \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}E\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ed38cd979ae7e07d100d166d546c1c2e9ae7a8)
를 정의할 수 있다. 이는
위의
차 미분 형식
![{\displaystyle \theta \in \Omega ^{k}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4575c1681b479dc6269853ebdb46f42be3a35486)
를 정의한다. 이를
위의 리우빌 미분 형식이라고 한다.
위 정의는 국소 좌표를 사용하여 간단히 적을 수 있다.
근처의 국소 좌표계
를 생각하자. 이 경우
의 국소 좌표는
![{\displaystyle (x^{i},p_{j_{1}j_{2}\dotso j_{k}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b21741ea06a45fc2bcde1c96ddb54e571adaa4)
의 꼴이다. 이 경우
![{\displaystyle \theta ={\frac {1}{k!}}p_{i_{1}i_{2}\dotso i_{k}}\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \mathrm {d} x^{i_{2}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2037fc2f6cac3449d3e2f96531f949624d487d)
이다.
매끄러운 다양체
에 대하여,
위의 리우빌 미분 형식
가 주어졌을 때,
![{\displaystyle \mathrm {d} \theta \in \Omega ^{k+1}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f12349f97e4721aa5d6d73c98ced561ee19109b)
는
위의
차 멀티심플렉틱 다양체 구조를 이룬다. 특히,
일 때, 공변접다발의 전체 공간
은 항상 표준적으로 심플렉틱 다양체를 이룬다.
일 때, 0차 리우빌 미분 형식은
위의 0차 미분 형식 (매끄러운 함수)
![{\displaystyle \theta \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M\times \mathbb {R} ,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e98159ff1fd616a056e840d74969a0caf3e23e)
![{\displaystyle \theta \colon (x,t)\mapsto t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8624d31a69b6311517a3e2c6bb376c26402b54)
이다.
일 때,
이므로, 이 경우
차 리우빌 미분 형식은 0이다.
일 때,
은 선다발이다.
이 가향 다양체일 때, 임의의 부피 형식
를 고르면, 이는 자명한 선다발로 여길 수 있다. 그렇다면
![{\displaystyle \theta \in \Omega ^{\dim M}(M\times \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7056d3c95d1514a9123f14119ff962ff9619c2)
![{\displaystyle \theta _{(x,t)}=t\omega |_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3238c6b8d1b97a8ebeed8f216f990cf92365fd59)
이다.
조제프 리우빌의 이름을 땄다.