리 초대수 이론에서, 리 초대수의 표현(表現, 영어: representation)은 어떤 리 초대수의 원소들을 초행렬들로 나타내는 것이다.[1]:§§32–40, §60 추상적으로, 이는 리 초대수에서, 어떤 초벡터 공간 위의 선형 초대수로 가는 리 초대수 준동형이다.
체
위의 유한 차원 초벡터 공간
위의 선형 초대수(영어: linear superalgebra)
를 생각하자. 이는 모든 초행렬
![{\displaystyle M\colon V\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48c93767e8e357afbbbec940c29607c352cf4a2)
들로 구성되는 리 초대수이다. 그 보손 성분은
![{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{0}(V;K)={\mathfrak {gl}}(V_{0};K)\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{1};K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aef5f14457be71cda40e7f77797dd3643449cfa)
이며, 그 페르미온 성분은
![{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{1}(V;K)=V_{0}\otimes _{K}V_{1}\oplus V_{1}\otimes _{K}V_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3b766999d329ca38685309c9db485ececc4507)
이다.
체
위의 리 초대수
의 표현은 어떤 초벡터 공간
위의 선형 초대수로 가는
-리 초대수 준동형
![{\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38826c563d9673b606c98e52d94a28fbdfcb84a)
이다.[1]:§32
즉, 구체적으로 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 리 대수의 표현
![{\displaystyle \rho _{00}\colon {\mathfrak {g}}_{0}\to {\mathfrak {gl}}(V_{0};K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6c72637ebc07285fa7f839d8df381fa23139dc)
- 리 대수의 표현
![{\displaystyle \rho _{11}\colon {\mathfrak {g}}_{0}\to {\mathfrak {gl}}(V_{1};K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b880cf9d951b35145e944c8e8444dd7a750a92)
-선형 변환 ![{\displaystyle \rho _{01}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\to V_{0}\otimes V_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da6723454ce564fcba225f637c5a28547da0f12)
-선형 변환 ![{\displaystyle \rho _{10}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\to V_{0}\otimes V_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9966ef61a5d4656158a335a4dd87edc2c26a9fa5)
이는 네 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
![{\displaystyle \rho _{00}(\{X,Y\})=\rho _{01}(X)\rho _{10}(Y)+\rho _{01}(Y)\rho _{10}(X)\qquad (X,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ee65c42dfd4e0e67dbbcb54b8ad8a9ba558db7)
![{\displaystyle \rho _{11}(\{X,Y\})=\rho _{10}(X)\rho _{01}(Y)+\rho _{10}(Y)\rho _{01}(X)\qquad (X,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6112986c60dc478941fe4eab57d7c12bd4876f25)
![{\displaystyle \rho _{01}([X,Y])=\rho _{00}(X)\rho _{01}(Y)-\rho _{01}(Y)\rho _{11}(X)\qquad (X\in {\mathfrak {g}}_{0},\,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b94901d977b8e1371f1b515a6e58a66bf61ed00)
![{\displaystyle \rho _{10}([X,Y])=\rho _{11}(X)\rho _{10}(Y)-\rho _{10}(Y)\rho _{00}(X)\qquad (X\in {\mathfrak {g}}_{0},\,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1977bdfde2bd1b7a078d4fcbe1311aebe3b9580)
(
인 경우는 리 대수의 표현의 정의에 포함된다.)
임의의 리 초대수
및 초벡터 공간
에 대하여, 값이 0인 상수 함수
는 자명하게 리 초대수의 표현을 이룬다. 이를 자명한 표현(영어: trivial representation)이라고 한다.
모든 리 초대수
는 스스로 위의 표현
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ab649f0ac64e518f7d40720bdb71b546756df5)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}(X)=[X,-\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e899423aa3069341516bc5bd049a75faaf3c360)
을 갖는다. 이를
의 딸림표현이라고 한다.[1]:§32
리 초대수
에서, 만약
인 경우,
의, 초벡터 공간
위의 표현은 단순히
의 두 개의 (
과
위의) 표현에 불과하다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]