리 초대수 표현

리 초대수 이론에서, 리 초대수의 표현(表現, 영어: representation)은 어떤 리 초대수의 원소들을 초행렬들로 나타내는 것이다.^{:§§32–40, §60} 추상적으로, 이는 리 초대수에서, 어떤 초벡터 공간 위의 선형 초대수로 가는 리 초대수 준동형이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 초벡터 공간 $V=V_{0}\oplus V_{1}$ 위의 선형 초대수(영어: linear superalgebra) ${\mathfrak {gl}}(V;K)$를 생각하자. 이는 모든 초행렬

$M\colon V\to V$

들로 구성되는 리 초대수이다. 그 보손 성분은

${\mathfrak {gl}}_{0}(V;K)={\mathfrak {gl}}(V_{0};K)\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{1};K)$

이며, 그 페르미온 성분은

${\mathfrak {gl}}_{1}(V;K)=V_{0}\otimes _{K}V_{1}\oplus V_{1}\otimes _{K}V_{0}$

이다.

체 $K$ 위의 리 초대수 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$의 표현은 어떤 초벡터 공간 $V$ 위의 선형 초대수로 가는 $K$-리 초대수 준동형

$\rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$

이다.^:§32

즉, 구체적으로 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 리 대수의 표현 $\rho _{00}\colon {\mathfrak {g}}_{0}\to {\mathfrak {gl}}(V_{0};K)$
• 리 대수의 표현 $\rho _{11}\colon {\mathfrak {g}}_{0}\to {\mathfrak {gl}}(V_{1};K)$
• $K$-선형 변환 $\rho _{01}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\to V_{0}\otimes V_{1}$
• $K$-선형 변환 $\rho _{10}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\to V_{0}\otimes V_{1}$

이는 네 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• $\rho _{00}(\{X,Y\})=\rho _{01}(X)\rho _{10}(Y)+\rho _{01}(Y)\rho _{10}(X)\qquad (X,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})$
• $\rho _{11}(\{X,Y\})=\rho _{10}(X)\rho _{01}(Y)+\rho _{10}(Y)\rho _{01}(X)\qquad (X,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})$
• $\rho _{01}([X,Y])=\rho _{00}(X)\rho _{01}(Y)-\rho _{01}(Y)\rho _{11}(X)\qquad (X\in {\mathfrak {g}}_{0},\,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})$
• $\rho _{10}([X,Y])=\rho _{11}(X)\rho _{10}(Y)-\rho _{10}(Y)\rho _{00}(X)\qquad (X\in {\mathfrak {g}}_{0},\,Y\in {\mathfrak {g}}_{1})$

($X,Y\in {\mathfrak {g}}_{0}$인 경우는 리 대수의 표현의 정의에 포함된다.)

예

임의의 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$ 및 초벡터 공간 $V$에 대하여, 값이 0인 상수 함수 ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$는 자명하게 리 초대수의 표현을 이룬다. 이를 자명한 표현(영어: trivial representation)이라고 한다.

모든 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$는 스스로 위의 표현

$\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$

$\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}(X)=[X,-\}$

을 갖는다. 이를 ${\mathfrak {g}}$의 딸림표현이라고 한다.^:§32

리 초대수 ${\mathfrak {g}}$에서, 만약 ${\mathfrak {g}}_{1}=\{0\}$인 경우, ${\mathfrak {g}}$의, 초벡터 공간 $V=V_{0}\oplus V_{1}$ 위의 표현은 단순히 ${\mathfrak {g}}_{0}$의 두 개의 ($V_{0}$과 $V_{1}$ 위의) 표현에 불과하다.