기본 동치

모형 이론에서 기본 동치(基本同値, 영어: elementary equivalence)는 두 구조가 같은 1차 논리 문장들을 만족시키는 관계이다.

정의

같은 언어의 구조 $M$ , $N$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립하면 $M$ 과 $N$ 이 서로 기본 동치라고 한다.

모든 1차 논리 문장 $\phi$ 에 대하여, $M\models \phi \iff N\models \phi$
모든 1차 논리 문장 $\phi$ 에 대하여, $M\models \phi \implies N\models \phi$
모든 1차 논리 문장 $\phi$ 에 대하여, $N\models \phi \implies M\models \phi$

(문장이란 자유 변수를 포함하지 않는 공식을 의미한다.)

같은 언어에 대한 구조 $M$ 과 $N$ 사이의 기본 매장(基本埋藏, 영어: elementary embedding)은 다음 성질을 만족시키는 함수

j\colon M\to N

이다.

$k$ 개의 자유 변수 ${\vec {x}}$ 를 갖는 임의의 1차 논리 공식 $\phi$ 및 임의의 ${\vec {m}}\in M^{k}$ 에 대하여, 만약 $M\models \phi [{\vec {m}}/{\vec {x}}]$ 라면 $N\models \phi [j({\vec {m}})/{\vec {x}}]$ 이다.

만약 $M\subset N$ 이고 부분 집합 포함 함수가 기본 매장을 이룬다면, $M$ 이 $N$ 의 기본 부분 구조(基本部分構造, 영어: elementary substructure)라고 한다.

성질

구조의 기본 동치는 동치 관계이다.

기본 매장은 다음 성질들을 만족시킨다.

단사 함수이다. 이는 1차 논리가 등호를 포함하며, 따라서 $m_{1}\neq m_{2}\implies j(m_{1})\neq j(m_{2})$ 이기 때문이다.
강준동형사상이다.
기본 동치이다.

같은 언어에 대한 두 구조 $M$ , $N$ 에 대하여, $M\subset N$ 이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$M$ 은 $N$ 의 기본 부분 구조이다.
(타르스키-보트 조건 영어: Tarski–Vaught criterion) 임의의 $k+1$ 개 자유 변수를 갖는 1차 논리 공식 $\phi (x,{\vec {y}})$ 및 ${\vec {b}}\in N^{k}$ 에 대하여, $N\models \phi (a,{\vec {b}})$ 인 $a\in M$ 이 존재한다.

예

워시 정리에 따라, 어떤 모형 $M$ 과 그 초거듭제곱 $M^{n}/{\mathcal {U}}$ 은 서로 기본 동치이다.

하나의 이항 관계 $\langle \leq \rangle$ 의 구조로서, 유리수의 집합 $\mathbb {Q}$ 및 실수의 집합 $\mathbb {R}$ 는 서로 기본 동치이다. 그러나 이들은 순서체의 언어 $\langle +,\cdot ,-,0,1,\leq \rangle$ 의 구조로는 서로 기본 동치가 아니다.