가환대수학에서, 기본 대칭 다항식(基本對稱多項式, 영어: elementary symmetric polynomial)은 주어진 차수에 대하여, 이 차수의 모든 가능한 항들을 (계수 1로서) 정확히 하나씩 포함하는 다변수 대칭 다항식이다. 모든 대칭 다항식은 기본 대칭 다항식들로 유일하게 구성된다.
차수
에 대하여,
개의 변수
에 대한
차 기본 대칭 다항식은 다음과 같은 대칭 다항식이다.
![{\displaystyle e_{k}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\dotsm x_{i_{k}}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0a3e34ca3c74bf2a317773889b1374185c5ed6)
특히,
이라면
이다. 즉, 0이 아닌 기본 대칭 다항식은
이다. (항상
이다.)
임의의 가환환
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
개의 변수에 대한 대칭 다항식의 가환환
![{\displaystyle K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}=\{p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\colon \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (n)\colon p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=p(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638f6365db0f71710201251526867c25818e7c04)
을 정의할 수 있다. 이 경우, 기본 대칭 다항식을 통한 환 준동형
![{\displaystyle K[y_{1},\dotsc ,y_{n}]\to K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d7e0ca7c164ff7e140f9cab28b10e24cf8ce1e)
![{\displaystyle y_{i}\mapsto e_{i}(x_{1},\dotsc ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1cbf48955e2b3f6b53c6b12142c91d081c7b87)
을 생각할 수 있다. 이 환 준동형은 항상 가환환의 동형 사상이다.
다시 말해, 임의의 대칭 다항식
![{\displaystyle p\in K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb1c9c8e0966364f5d4b3a2b2b459786973136b)
에 대하여,
![{\displaystyle p(x_{1},\dotsc ,x_{n})=q(e_{1}(x_{1},\dotsc ,x_{n}),\dotsc ,e_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7d382dc3d0f59d32ab0d26fece634746e10b4a)
이 되는 다항식
이 유일하게 존재한다.
낮은 값의
에 대한 기본 대칭 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle n=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425)
![{\displaystyle e_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a6c2f87921b4101fc31e829f93bbb20edc47df)
![{\displaystyle e_{1}(x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31cc7202bc08504052c750946c3d9144c7fff5c)
![{\displaystyle n=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02c8bd752d2cc859747ca1f3a508281bdbc3b34)
![{\displaystyle e_{0}(x,y)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2f75aac3b53217ae3b4b64d79992fbda7b5e86)
![{\displaystyle e_{1}(x,y)=x+y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0856e73e8f7edcd9557edcd301da756e93e16feb)
![{\displaystyle e_{2}(x,y)=xy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c429ec218f7fecaccf59d5b11d06611b5608ab)
![{\displaystyle n=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5a5a42ced00df920fad4ab2d4acdb960a4105b)
![{\displaystyle e_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a6c2f87921b4101fc31e829f93bbb20edc47df)
![{\displaystyle e_{1}(x,y,z)=x+y+z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f98b8c6cff1b08b5faa0e54cc5512fc6d5dea9)
![{\displaystyle e_{2}(x,y,z)=xy+yz+xz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2493241d06156ba20a46675cd30fe882af1d8f2c)
![{\displaystyle e_{3}(x,y,z)=xyz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df55764ac0ad0e6337a81b27372251a7cae4fa88)
![{\displaystyle n=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d928ec15aeef83aade867992ee473933adb6139d)
![{\displaystyle e_{0}(x,y,z,w)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68069c7d42b6793fd46efab84fe750c34dc2ad51)
![{\displaystyle e_{1}(x,y,z,w)=x+y+z+w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5696651fe0a95da3ec5b9f6e1c519dc96315adb)
![{\displaystyle e_{2}(x,y,z,w)=xy+yz+zw+wx+xz+yw}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9015d9e75791be04d70434f8311fb19db68467bf)
![{\displaystyle e_{3}(x,y,z,w)=xyz+yzw+zwx+wxy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23369506cf676f936b7d4e2e06daeed99ff1bf85)
![{\displaystyle e_{4}(x,y,z,w)=xyzw}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b3b01839a74ba5b603af3830ca2138fe4bc538)
- Macdonald, I. G. (1995). 《Symmetric functions and Hall polynomials》 (영어) 2판. Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0.