동역학계 이론에서
-극한 집합(
-極限集合, 영어:
-limit set)은 무한한 시간이 경과하였을 때 주어진 초기 상태의 동역학계가 수렴하게 되는 상태들의 집합이다.
위상 공간
위에 동역학계
![{\displaystyle \phi \colon T\times X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed55e96e9838f80bf92415294317b7c0b0c9fc4)
가 주어졌다고 하자. 여기서 흐름(연속 시간 동역학계)의 경우
이며, 사상(이산 시간 동역학계)의 경우
이다.
그렇다면, 초기 조건
의
-극한 집합(영어:
-limit set) 및
-극한 집합(영어:
-limit set)은 다음과 같다.
![{\displaystyle \lim _{\omega _{+}}x=\bigcap _{t\in T}\operatorname {cl} \{\phi (t',x)\colon t'>t\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc98f48051fb7b1f9bc789544b97cad1fe8371ab)
![{\displaystyle \lim _{\omega _{-}}x=\bigcap _{t\in T}\operatorname {cl} \{\phi (t',x)\colon t'<t\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032c9c62a5fb70406c82be630370355b99d31474)
여기서
은 폐포를 뜻한다.
즉,
임은 다음과 동치이다.
![{\displaystyle y\in \lim _{\omega _{\pm }}x\iff \exists (t_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in T^{\mathbb {N} }\colon \left(\lim _{i\to \infty }t_{i}=\pm \infty \land \lim _{i\to \infty }\phi (t_{i},x)=y\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ade007afb0a814dcd9c563bebf083e4645908b0)
일부 문헌에서는
/
-극한 집합 대신
/
-극한 집합으로 표기하기도 한다.
-극한 집합은 (닫힌집합들의 열의 교집합이므로) 항상 닫힌집합이다.
가 연속적이고, 만약
가 콤팩트 공간이라면
-극한 집합은 공집합이 아닌 연결 콤팩트 집합이다.
-극한 집합은 시간 변화에 대하여 불변이다.