극한 집합

동역학계 이론에서 $\omega _{\pm }$ -극한 집합( $\omega _{\pm }$ -極限集合, 영어: $\omega _{\pm }$ -limit set)은 무한한 시간이 경과하였을 때 주어진 초기 상태의 동역학계가 수렴하게 되는 상태들의 집합이다.

정의[편집]

\phi \colon T\times X\to X

가 주어졌다고 하자. 여기서 흐름(연속 시간 동역학계)의 경우 $T=\mathbb {R}$ 이며, 사상(이산 시간 동역학계)의 경우 $T=\mathbb {Z}$ 이다.

그렇다면, 초기 조건 $x\in X$ 의 $\omega _{+}$ -극한 집합(영어: $\omega _{+}$ -limit set) 및 $\omega _{-}$ -극한 집합(영어: $\omega _{-}$ -limit set)은 다음과 같다.

\lim _{\omega _{+}}x=\bigcap _{t\in T}\operatorname {cl} \{\phi (t',x)\colon t'>t\}

\lim _{\omega _{-}}x=\bigcap _{t\in T}\operatorname {cl} \{\phi (t',x)\colon t'<t\}

여기서 $\operatorname {cl}$ 은 폐포를 뜻한다.

즉, $y\in \lim _{\omega _{\pm }}x$ 임은 다음과 동치이다.

y\in \lim _{\omega _{\pm }}x\iff \exists (t_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in T^{\mathbb {N} }\colon \left(\lim _{i\to \infty }t_{i}=\pm \infty \land \lim _{i\to \infty }\phi (t_{i},x)=y\right)

일부 문헌에서는 $\omega _{+}$ / $\omega _{-}$ -극한 집합 대신 $\omega$ / $\alpha$ -극한 집합으로 표기하기도 한다.

$\omega _{\pm }$ -극한 집합은 (닫힌집합들의 열의 교집합이므로) 항상 닫힌집합이다. $\phi$ 가 연속적이고, 만약 $X$ 가 콤팩트 공간이라면 $\omega _{\pm }$ -극한 집합은 공집합이 아닌 연결 콤팩트 집합이다.

$\omega _{\pm }$ -극한 집합은 시간 변화에 대하여 불변이다.

“Limit set of a trajectory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.