하르톡스의 정리 (복소해석학)

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하르톡스의 정리(독일어: Satz von Hartogs, Hartogs' theorem, -定理)는 다변수 복소해석학의 정리로, 독일의 수학자 프리드리히 하르톡스(Friedrich Hartogs)의 이름이 붙어 있다. 다변수 복소해석학의 기초적이고 핵심적인 정리들 중 하나로, 실 다변수해석학에서는 성립하지 않는 복소 다변수만의 특성을 다룬다.

공식화[편집]

하르톡스의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

  • f를 C^n (n≥1) 위에서 C로 가는 복소함수라 하자. 만약 f가 n개의 모든 변수에 대해 해석적이면, f는 연속이다.

실변수와의 비교[편집]

실변수에서는 이러한 성질이 n≥2일 경우 일반적으로 성립하지 않는다. R^2 에서 R로 가는 함수 f를 f(x, y) := \frac{xy}{x^2+y^2} 와 같이 정의하면, (0, 0)에서 x, y 모두 편도함수가 존재하나, 이 함수는 (0, 0)에서 x = y 및 x = -y의 두 경로에 대해 서로 다른 극한을 가져 극한이 존재하지 않으므로 여기서 불연속이기 때문이다.

그러나 실 다변수함수의 경우에도 미분가능하면, 즉 그 함수의 전미분선형함수가 존재하면 연속이 된다. 또한 실 다변수함수가 미분가능할 유용한 충분조건으로 그 함수의 모든 1계 편도함수가 존재하고 각각 연속이라는 것이 있다. 따라서, 모든 1계 편도함수가 존재하고 연속인 실 다변수함수는 연속함수이다.[1]

주석[편집]

  1. 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007, 288-293쪽.

참고 문헌[편집]

  • Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.