방접원

삼각형의 내접원과 방접원

기하학에서, 방접원(傍接圓, 영어: excircle)은 주어진 삼각형의 한 변에 접하고 남은 두 변의 연장선에 접하는 원이다. 방심(傍心, 영어: excenter)은 방접원의 중심을 일컫는다.

정의

삼각형 $ABC$의 세 변의 직선에 동시에 접하는 원은 정확히 4개 존재한다. 한 원은 세 변의 내부에서 접하며, 이를 삼각형 $ABC$의 내접원이라고 한다. 남은 3개의 원은 각각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 내부와 남은 두 변의 연장선에서 접하며, 이들을 각각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$와 마주보는 삼각형 $ABC$의 방접원이라고 한다. 세 방접원의 중심을 방심 $J_{A}$, $J_{B}$, $J_{C}$라고 한다. 세 방심을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 방심 삼각형(傍心三角形, 영어: excenter triangle) $J_{A}J_{B}J_{C}$라고 한다. 방심 삼각형의 외접원을 베번 원(Bevan圓, 영어: Bevan circle)이라고 하며, 베번 원의 중심(즉, 방심 삼각형의 외심)을 베번 점(Bevan點, 영어: Bevan point) $V$라고 한다.

성질

방심과 삼각형의 세 변 사이의 거리는 같다. 이는 이 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름이다. 방심은 두 외각의 이등분선과 남은 한 내각의 이등분선의 교점이다.

포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 구점원은 이 삼각형의 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접한다.

반지름

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 길이를 $a$, $b$, $c$라고 하고, 반둘레를 $s$라고 하고, 넓이를 $S$라고 하자. 또한 외접원과 내접원의 반지름을 각각 $R$와 $r$라고 하고, 꼭짓점 $A$, $B$, $C$와 마주보는 방접원의 반지름을 $r_{A}$, $r_{B}$, $r_{C}$라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 항등식들이 성립한다.^{:13, §1.4, Exercise 5:80, §2F, Theorem 2.34}

$r_{A}={\frac {S}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}=s\tan {\frac {A}{2}}$

$r_{B}={\frac {S}{s-b}}={\sqrt {\frac {s(s-a)(s-c)}{s-b}}}=s\tan {\frac {B}{2}}$

$r_{C}={\frac {S}{s-c}}={\sqrt {\frac {s(s-a)(s-b)}{s-c}}}=s\tan {\frac {C}{2}}$

${\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}={\frac {1}{r}}$

$r_{A}+r_{B}+r_{C}-r=4R$

접점

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$와 마주보는 방접원의 대변과의 접점을 $T_{A}'$, $T_{B}'$, $T_{C}'$이라고 하자. 그렇다면 직선 $AT_{A}'$, $BT_{B}'$, $CT_{C}'$은 모두 삼각형 $ABC$의 둘레를 이등분한다. 즉, 반둘레를 $s$라고 할 때 다음이 성립한다.

$BT_{C}'=CT_{B}'=s-a$

$CT_{A}'=AT_{C}'=s-b$

$AT_{B}'=BT_{A}'=s-c$

방심 삼각형과 베번 점

삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다.^{:28, §3.2} 즉, 삼각형의 내심과 세 방심은 수심계를 이룬다. 모든 삼각형의 외심은 내심과 베번 점의 중점이다.^{:29, §3.2} 모든 삼각형의 슈피커 중심은 수심과 베번 점의 중점이다.^{:27, §3.2} 삼각형 $ABC$의 한 꼭짓점 $A$에서 대변에 내린 수선의 중점 $(A+H_{A})/2$, 그 꼭짓점과 마주보는 방접원의 접점 $T_{A}'$, 그리고 내심 $I$는 같은 직선 위에 있다.^{:30, §3.3}

방심 삼각형의 수심 삼각형, 또는 수심 삼각형의 방심 삼각형은 원래 삼각형이다. 즉, 수심 삼각형과 방심 삼각형을 취하는 연산은 서로 역연산이다.

삼각형 $ABC$의 반둘레를 $s$라고 하고, 외접원의 반지름을 $R$라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$S_{J_{A}J_{B}J_{C}}=4sR$

나겔 점과 외촉 삼각형

나겔 점과 외촉 삼각형

삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 마주보는 방접원과 대변의 접점을 각각 $T_{A}'$, $T_{B}'$, $T_{C}'$라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 $AT_{A}'$, $BT_{B}'$, $CT_{C}'$는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 $ABC$의 나겔 점(영어: Nagel point)) $X_{8}$이라고 한다. 나겔 점에 대한 체바 삼각형(즉, 세 방접원의 접점을 꼭짓점으로 하는 삼각형)을 외촉 삼각형(영어: extouch triangle) $T_{A}'T_{B}'T_{C}'$이라고 한다. 나겔 점의 이름은 독일의 수학자 크리스티안 하인리히 폰 나겔(독일어: Christian Heinrich von Nagel)에서 왔다.

증명:

꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라고 하고, 반둘레를 $s$라고 하자. 그렇다면

$BT_{C}'=CT_{B}'=s-a$

$AT_{C}'=CT_{A}'=s-b$

$AT_{B}'=BT_{A}'=s-c$

이므로,

${\frac {AT_{C}'}{T_{C}'B}}\cdot {\frac {BT_{A}'}{T_{A}'C}}\cdot {\frac {CT_{B}'}{T_{B}'A}}=1$

이다. 체바 정리에 의하여, $AT_{A}'$, $BT_{B}'$, $CT_{C}'$는 공점선이다.

외부 링크

• “Nagel point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Excircles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Excenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exradius”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Excentral triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nagel point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Extouch triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.