기약 다항식: 두 판 사이의 차이
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다항식 <math>p(x),q(x)\in R[x]</math>에 대하여, 다음이 성립한다. |
<math>R</math>가 유일 인수 분해 정역이라고 하자. 다항식 <math>p(x),q(x)\in R[x]</math>에 대하여, 다음이 성립한다. |
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:<math>\operatorname c(p(x)q(x))=\operatorname c(p(x))\operatorname c(q(x))</math> |
:<math>\operatorname c(p(x)q(x))=\operatorname c(p(x))\operatorname c(q(x))</math> |
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특히, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 이를 '''가우스 보조정리'''(Gauß補助定理, {{llang|en|Gauss's lemma}})라고 한다. |
특히, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 이를 '''가우스 보조정리'''(Gauß補助定理, {{llang|en|Gauss's lemma}})라고 한다. |
2017년 12월 16일 (토) 23:56 판
수학에서, 기약 다항식(旣約多項式, 영어: irreducible polynomial)은 더 낮은 차수의 다항식의 곱으로 표시되지 않는 다항식이다.
정의
가 정역이라고 하자.
차수 1 이상의 다항식 가 다음 조건을 만족시키면, 기약 다항식이라고 한다.
- (기약원) 임의의 에 대하여, 라면, 이거나 이다.
원시 다항식
가 유일 인수 분해 정역이라고 하자.
다항식 의 내용(內容, 영어: content) 은 계수의 최대 공약수이다.
내용이 가역원인 다항식(즉, 계수가 서로소인 다항식)을 원시 다항식이라고 한다.
성질
가우스 보조정리
가 유일 인수 분해 정역이라고 하자. 다항식 에 대하여, 다음이 성립한다.
특히, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다. 이를 가우스 보조정리(Gauß補助定理, 영어: Gauss's lemma)라고 한다.
증명:
환론적 성질
가 유일 인수 분해 정역이라고 하자. 다항식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 에서 기약 다항식이다.
- 는 에서 기약 다항식이다.
기약성 판정법
다항식의 기약성의 판정법에는 아이젠슈타인 판정법이 있다.
외부 링크
- 이철희. “가우스의 보조정리(Gauss's lemma)”. 《수학노트》.
- 이철희. “아이젠슈타인 기약다항식 판정법”. 《수학노트》.
- “Irreducible polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Primitive polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Irreducible polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Primitive polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Rational zero theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Eisenstein's irreducibility criterion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Irreducible polynomial”. 《nLab》 (영어).
- “Irreducible polynomial”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Irreducible polynomials over finite field”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Irreducible polynomials obtained from biquadratic fields”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Content of polynomial”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Rational root theorem”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Factorization of primitive polynomial”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Proof of rational root theorem”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Gauss' lemma”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Gauss’s lemma II”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Eisenstein criterion”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Proof of Eisenstein criterion”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Example of using Eisenstein criterion”. 《PlanetMath》 (영어).