이분 그래프: 두 판 사이의 차이
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0분 그래프는 공(空)그래프 (꼭짓점과 변이 없는 그래프) 밖에 없다. 1분 그래프는 이산 그래프 (즉, 아무런 변이 없는 그래프)와 동치인 개념이다. |
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가 주어졌다고 하자. 이 [[집합의 분할]]에 대응하는 '''완전 <math>k</math>분 그래프'''({{llang|en|complete <math>k</math>-partite graph}})는 위와 같은 분할에 대하여 <math>k</math>분 그래프를 이루는, 가장 변을 많이 갖는 그래프이다. 즉, 그 변의 집합은 다음과 같은 꼴이다. |
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2017년 4월 19일 (수) 05:36 판
그래프 이론에서, 이분 그래프(二分graph, 영어: bipartite graph)란 모든 꼭짓점을 빨강과 파랑으로 색칠하되, 모든 변이 빨강과 파랑 꼭짓점을 포함하도록 색칠할 수 있는 그래프이다.
정의
그래프 와 자연수 가 주어졌다고 하자. 만약 가 다음과 같은 조건을 만족시키는 집합의 분할
을 가질 수 있다면, 를 분 그래프(-分graph, 영어: -partite graph)라고 한다.
- 변으로 연결된 두 꼭짓점은 서로 다른 분할 성분에 속한다. 즉, 임의의 변 에 대하여, 만약 이며 라면, 이다.
즉, 의 색칠수가 이하이어야 한다.
일 때, 이를 이분 그래프라고 한다. 마찬가지로, 일 때, 이를 삼분 그래프(三分graph, 영어: tripartite graph)라고 한다.
성질
임의의 유한 그래프 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 이분 그래프이다.
- 홀수 길이의 순환이 존재하지 않는다.
특히, 예를 들어 홀수 길이의 순환 그래프는 이분 그래프가 될 수 없다.
쾨니그 정리
쾨니그 정리(Kőnig定理, 영어: Kőnig’s theorem)에 따르면, 이분 그래프의 경우 대한 최소 꼭짓점 덮개 문제와 최대 부합 문제가 서로 동치이다.
구체적으로, 어떤 그래프 의 꼭짓점 덮개(영어: vertex cover) 는 다음을 만족시키는 집합이다.
- 모든 변 에 대하여, 와 접하는 가 존재한다.
최소 꼭짓점 덮개(영어: minimal vertex cover)는 포함 관계에 대하여 최소 원소인 꼭짓점 덮개이다.
쾨니그 정리에 따르면, 유한 이분 그래프 의 최대 부합 및 최소 꼭짓점 덮개 에 대하여,
이다.[1]:289
조합적 집합론에서는 쾨니그 정리를 일반화하는 홀 결혼 정리가 존재한다. 쾨니그 정리와 홀의 정리 및 딜워스의 정리는 서로 동치이다.
변별 알고리즘
주어진 그래프가 이분 그래프인지 확인하는 것은 어렵지 않다. 꼭짓점 하나를 빨강으로 칠한 후 이웃 꼭짓점들은 녹색으로 칠하고 그 이웃들은 빨강으로 칠하는 것들을 반복하면서, 같은 색깔의 꼭짓점이 서로 연결되어 있는 모순이 발생하는지 아닌지 확인만 하면 된다. 예를 들어, 크기가 3인 순환 그래프는 이분 그래프가 아니다.
예
0분 그래프는 공(空)그래프 (꼭짓점과 변이 없는 그래프) 밖에 없다. 1분 그래프는 이산 그래프 (즉, 아무런 변이 없는 그래프)와 동치인 개념이다.
완전 분 그래프
집합 의 조각 분할
가 주어졌다고 하자. 이 집합의 분할에 대응하는 완전 분 그래프(영어: complete -partite graph)는 위와 같은 분할에 대하여 분 그래프를 이루는, 가장 변을 많이 갖는 그래프이다. 즉, 그 변의 집합은 다음과 같은 꼴이다.
데생당팡
리만 곡면에 대하여, 어떤 유한 평면 이분 그래프를 대응시킬 수 있다. 이를 데생당팡이라고 한다.
역사
쾨니그 정리는 쾨니그 데네시[2]와 에게르바리 예뇌(헝가리어: Egerváry Jenő, 1891~1958)가 각자 독자적으로 1931년에 증명하였다.
참고 문헌
- ↑ 윤영진 (2007). 《새로운 조합수학》. 교우사. ISBN 978-89-8172-379-8.
- ↑ Kőnig Dénes (1931). “Gráfok és mátrixok”. 《Matematikai és Fizikai Lapok》 (헝가리어) 38: 116–119. Zbl 0003.32803.
바깥 고리
- “Graph, bipartite”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “König theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Bipartite graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Bicolorable graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “k-partite graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “k-colorable graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Complete bipartite graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Complete tripartite graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Complete k-partite graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “König's Line Coloring Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “König-Egeváry Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.