상한

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집합 A의 모든 원소가 파란색으로 표시되어 있다. 임의의 빨간색 원소는 모든 파란색 원소보다 크거나 같고, 그 중에서 가장 작은 빨간색 값(다이아몬드)이 최소상계가 된다.

상한(上限, 영어: supremum 슈프리멈[*]) 또는 최소상계(最小上界, 영어: least upper bound, LUB)은 집합의 모든 원소가 어떤 값보다 작거나 같은, 그 값의 최소값을 가리킨다.

일반적인 상한의 정의[편집]

순서체 F의 위로 유계인 부분집합 S의 상계 z0가 다른 모든 S의 상계 z에 대해 z0 ≦ z 를 만족하면 z0를 S의 상한이라 하고 z0 = sup{S} 로 표현한다.

실수에서 상한의 정의[편집]

위로 유계인 집합 S ⊂ R 의 상계 z0가 다른 모든 S의 상계 z에 대해 z0 ≦ z 를 만족하면 z0를 S의 상한이라 하고 z0 = sup{S} 로 표현한다.

예를 들면, \sup \, \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \} = \sup \, \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \} = 1가 된다.

특별한 경우[편집]

  • 상계가 없는 경우, 상한은 양의 무한대이다. 즉, \sup S = + \infty이라 한다.
  • 공집합의 상한은 음의 무한대이다. 즉,  \sup\varnothing = - \infty이다.

최댓값과의 차이[편집]

최댓값 \max S와 상한 \sup S는 서로 다르다. 최댓값의 경우는 집합 S안에서의 가장 큰 값을 의미하지만, 상한은 굳이 집합 안의 값을 가질 필요가 없다. 예를 들어 개구간 (0,1)의 상한은 1이지만, 최댓값은 존재하지 않는다.

같이보기[편집]