상한과 하한

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집합 의 모든 원소가 파란색으로 표시되어 있다. 임의의 빨간색 원소는 모든 파란색 원소보다 크거나 같고, 그 중에서 가장 작은 빨간색 값(다이아몬드)이 최소 상계가 된다.

순서론에서, 어떤 집합 T의 부분 집합 S에 대해 S상한(上限, 영어: supremum 슈프리멈[*]) 또는 최소 상계(最小上界, 영어: least upper bound, 약자 LUB)는, T의 원소 중 S의 모든 원소보다 큰 최소의 원소 (최소 상계)를 말한다. 마찬가지로, 하한(下限, 영어: infimum 인파이멈[*]) 또는 최대 하계(最大下界, 영어: greatest lower bound)는 T의 원소 중 S의 모든 원소보다 작은 최대의 원소 (최대 하계)를 말한다.

정의[편집]

부분 순서 집합 부분 집합 상계(영어: upper bound) 는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

  • 모든 에 대하여, 이다.

부분 순서 집합 부분 집합 하계(영어: lower bound) 는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

  • 모든 에 대하여, 이다.

부분 순서 집합 부분 집합 상한 는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.

  • 모든 에 대하여, 만약 의 상계라면, 이다.

즉, 어떤 집합의 상한은 그 상계들의 부분 순서 집합의 최소 원소이다. 마찬가지로, 부분 순서 집합 부분 집합 하한 는 반대 순서 에서의 상한이다. 즉, 어떤 집합의 하계들의 부분 순서 집합의 최대 원소이다.

최소 원소최대 원소는 유일하므로, 어떤 집합의 상한 또는 하한은 만약 존재한다면 유일하다. 집합 의 상한은 로, 하한은 로 쓴다.

성질[편집]

부분 순서 집합부분 집합 최대 원소 를 갖는다면, 이 집합은 상한을 가지며, 이다. 마찬가지로, 만약 최소 원소가 존재한다면 하한이 존재하며, 최소 원소와 하한은 같다.

[편집]

실수전순서 집합에서, 모든 유계 집합은 상한과 하한을 갖는다. 반대로, 모든 유계 집합이 상한과 하한을 갖는 순서체는 실수체밖에 없다.

확장된 실수전순서 집합 의 경우, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다. 유계가 아닌 실수 집합의 상한·하한은 확장된 실수 집합으로서의 상한·하한을 말하는 것이다. 즉, 상계가 없는 실수 집합의 상한은 , 하계가 없는 실수 집합의 하한은 이다.

실수의 부분 집합으로서, 열린 구간 은 상한 을 갖지만, 최대 원소를 갖지 않는다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]