최고 무게 가군

리 대수의 표현론에서 최고 무게 가군(最高무게加群, 영어: highest weight module)은 리 대수의 표현 가운데 모든 양근으로 소멸되는 어떤 벡터로 생성되는 성질을 갖는 것이다. 반단순 리 대수의 모든 유한 차원 기약 표현은 최고 무게 가군이며, 이에 대응하는 최고 무게는 정수 우세 무게이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$. 이에 따라 근계 $\Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }$를 정의할 수 있다.
• ${\mathfrak {h}}$의 무게 $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{\vee }$.
• $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$에 대한 양근 집합 $\Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }$. 이에 따라, ${\mathfrak {h}}^{\vee }$ 위에 부분 순서 $\lambda \leq \mu \iff \forall \alpha \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\colon 0\leq \langle \alpha |\mu -\lambda \rangle$를 줄 수 있다.

${\mathfrak {g}}$의 표현 $_{\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}V$에 대하여, 만약 다음 두 조건이 성립하는 벡터 $v\in V$가 존재한다면, $V$를 최고 무게 가군이라고 한다.

1. 모든 양근 $\lambda \in \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }$ 및 $v\in V$에 대하여, $\lambda ^{\vee }\cdot v=0$
2. $V={\mathfrak {g}}v$이다.

성질

최고 무게 가군 $V$의 무게의 집합

$\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{\vee }\colon V_{\lambda }\neq 0\}$

$V_{\lambda }=\{v\in V\colon \forall h\in {\mathfrak {h}}\colon (\lambda (h)-h)v=0\}$

을 생각하자. 이 경우, $V$의 무게들의 부분 순서 집합은 항상 유일한 최대 원소를 가지며, 이를 $V$의 최고 무게(영어: highest weight)라고 한다. 만약 $V$가 유한 차원이라면, 이는 항상 정수 무게이자 우세 무게이다.

복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$와 그 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 및 양근의 집합 $\Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$가 주어졌다고 하자. 최고 무게 정리(영어: theorem of the highest weight)에 따르면, 다음이 성립한다.

• ${\mathfrak {g}}$의 모든 유한 차원 기약 표현은 (위 데이터에 대한) 최고 무게 가군이다.
• ${\mathfrak {g}}$의 두 유한 차원 최고 무게 가군 가운데, 같은 최고 무게를 갖는 것은 서로 동형이다.
• 임의의 정수 우세 무게에 대하여 이를 최고 무게로 갖는 유한 차원 최고 무게 가군이 존재한다.

이에 따라, ${\mathfrak {g}}$의 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}$ 및 양근 $\operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq {\mathfrak {h}}^{*}$를 골랐을 때, 다음 두 집합 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다.

• ${\mathfrak {g}}$의 유한 차원 기약 표현들의 동형류들의 집합
• $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},\operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}))$에 대한 정수 우세 무게 $\lambda$

예

A_n

단순 리 대수 ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {sl}}(n+1)$의 카르탕 부분 대수는 $n$차원이며, 따라서 총 $n$개의 기본 무게들을 갖는다. 이 경우, 우세 무게

$(k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\qquad (k_{i}\in \mathbb {N} )$

에 대응하는 영 타블로는 길이가 $i$인 열을 $k_{i}$개 갖는다. 예를 들어, 대표적인 복소 기약 표현의 최고 무게들은 다음과 같다.

표현	최고 무게 (기본 무게 기저에 대한 계수)	영 타블로
기본 $\mathbf {n}$	$(1,0,\dots ,0)$	□
반기본 ${\bar {\mathbf {n} }}$	$(0,0,\dots ,1)$	□ ⋮ □
$k$차 대칭 텐서 $\textstyle \operatorname {Sym} ^{k}\mathbf {n}$	$(k,0,\dots ,0)$	□…□
$k$차 반대칭 텐서 $\textstyle \bigwedge ^{k}\mathbf {n}$	$\textstyle (\overbrace {0,\dots ,0} ^{k-1},1,0,\dots ,0)$	□ ⋮ □
딸림 표현 ${\mathfrak {a}}_{n}$	$(1,1,0,\dots ,0)$	□□ □

B_n

단순 리 대수 ${\mathfrak {b}}_{n}={\mathfrak {o}}(2n+1)$은 $n$개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, ${\mathfrak {b}}_{n}$의 기본 무게들은 다음과 같다.

$q^{1}=(1,0,0,\dots ,0,0)$

$q^{2}=(1,1,0,\dots ,0,0)$

$\vdots$

$q^{n-1}=(1,1,1,\dots ,1,0)$

$q^{n}={\frac {1}{2}}(1,1,1,\dots ,1,1)$

$q^{k}$ ($1\leq k\leq n-1$)는 $k$차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. $q^{n}$은 디랙 스피너 표현이다.

D_n

단순 리 대수 ${\mathfrak {d}}_{n}={\mathfrak {o}}(2n)$은 $n$개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, ${\mathfrak {d}}_{n}$의 기본 무게들은 다음과 같다.

$q^{1}=(1,0,0,\dots ,0,0,0)$

$q^{2}=(1,1,0,\dots ,0,0,0)$

$\vdots$

$q^{n-2}=(1,1,1,\dots ,1,0,0)$

$q^{n-1}={\frac {1}{2}}(1,1,1,\dots ,1,1,-1)$

$q^{n}={\frac {1}{2}}(1,1,1,\dots ,1,1,1)$

$q^{k}$ ($1\leq k\leq n-2$)는 $k$차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. $q^{n-1}$과 $q^{n}$은 바일 스피너 표현이다.

참고 문헌

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). 《Representation theory: a first course》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 129. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285. MR 1153249. Zbl 0744.22001. 

외부 링크

• “Representation with a highest weight vector”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.