모노드로미

수학에서 모노드로미(영어: monodromy)는 피복 공간이 특이점 주변에서 보이는 구조를 나타내는 수학적 대상이다.

정의

$X$ 가 연결 국소 연결 공간이라고 하자. $p\colon {\tilde {X}}\to X$ 가 $X$ 의 피복 공간이라고 하자. 또한, $x\in X$ 에 대하여 $F=p^{-1}(x)$ 가 그 올(fiber)이라고 하자.

폐곡선 $\gamma \colon [0,1]\to X$ 가 $x$ 에서 시작하고 끝난다고 하자. 즉, $\gamma (0)=\gamma (1)=x$ 이다. 그렇다면 이 폐곡선을 피복 공간으로 올려(lift) ${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\to {\tilde {X}}$ 를 생각할 수 있다. 이 곡선은 더 이상 일반적으로 폐곡선이 아니다. ${\tilde {\gamma }}$ 가 ${\tilde {x}}_{1}\in F$ 에서 시작하여 ${\tilde {x}}_{2}\in F$ 에 끝난다고 하자. 이에 따라, 이를 기본군 $\pi _{1}(X,x)$ 의 $F$ 에 대한 군의 작용으로 생각할 수 있다. 이 작용을 모노드로미 작용(monodromy action)이라고 하며, 군 준동형 $\pi _{1}(X,x)\to \operatorname {Aut} (F)$ 의 상을 모노드로미 군(monodromy group)이라고 한다.

예

모노드로미는 복소해석학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 복소 로그 $\log(z)$ 를 원점을 한 번 도는 폐곡선을 따라 해석적 연속을 통하여 연장하면, 시작한 점에서 $2\pi i$ 만큼 다른 값을 얻는다. 복소 로그를 $p\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \setminus \{0\}$ 꼴의 피복 공간으로 생각하면, $x\in \mathbb {R} ^{+}$ 에 대응하는 올은 $F=\{\log(x)+2\pi ni|n\in \mathbb {Z} \}$ 이다. $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ 의 기본군은 그 감음수로 나타내어지는 $\pi _{1}(\mathbb {C} \setminus \{0\})=\mathbb {Z}$ 이므로, 그 모노드로미 작용은 $n\colon \log(x)\mapsto \log(x)+2\pi ni$ 임을 알 수 있고, 그 모노드로미 군은 $\mathbb {Z}$ 이다.