슈어 직교 관계

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군 표현론에서, 슈어 직교 관계(Schur直交關係, 영어: Schur orthogonality relation)는 유한군이나 보다 일반적으로 콤팩트 위상군에서 성립하는, 표현들의 성분 또는 지표 사이의 일련의 직교 관계에 대한 정리이다.

정의[편집]

콤팩트 위상군이라고 하자. 이러한 군은 좌·우 하르 측도가 일치하며, 군의 총 측도가 1이 되게 (즉, 확률 공간이 되게) 규격화할 수 있다.

그렇다면, 의 복소수 연속 기약 표현들의 (동형류의) 집합을 라고 하자. 이들은 연속 군 준동형

이며, 는 모두 유한 차원 복소 벡터 공간이다. 또한, 각 에 기저를 주어, 유한 차원 복소 힐베르트 공간으로 만들자. 정규 직교 기저라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

따라서, 지표에 대해서는 다음이 성립한다.

유한군에 대한 슈어 직교성[편집]

가 (이산 위상의) 유한군이라고 하자. 이 경우, 하르 측도는 셈측도에 비례한다.

이 경우, 다음이 추가로 성립한다. 임의의 에 대하여,

여기서 는 군의 원소의 공액류이며, 중심화 부분군 크기이다.

역사[편집]

이사이 슈어가 유한군에 대하여 증명하였다.

외부 링크[편집]